건국대 2020학년도 모의 인문사회계 Ⅱ 2번 해설

[문제 2]: 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(풀이과정도 쓸 것) [총 60점]

[라] 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수가 $\displaystyle P(X=x_i)=p_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 일 때, $\displaystyle X$ 의 기댓값 $\displaystyle E(X)$ 는 $\displaystyle E(X)=x_1p_1+\cdots+x_np_n$ 이다.- 고등학교 『확률과 통계』 교과서

[마] 생산자의 총수입에서 총비용을 뺀 순이익을 이윤이라 한다.- 고등학교 『경제』 교과서

[바] (A) 원금에 대한 이자의 비율을 이자율이라고 하는데, 이는 금융 시장에서의 가격이라고 할 수 있다.(B) 경제성장률은 국내총생산의 변화율을 말한다.(C) 물가가 경제 전반에 걸쳐 지속적으로 상승하는 현상을 인플레이션이라 한다.- 고등학교 『경제』 교과서

[문제 2-1]

두 사람 A, B가 “가위·바위·보 계단 오르기 게임”을 하려 한다. 두 사람이 가위·바위·보를 해서 이긴 사람만 한 칸씩 올라간다. (가위·바위·보는 승자가 정해질 때까지 한다. 이긴 사람이 없으면 이긴 사람이 나올 때까지 가위·바위·보를 반복한다.) 계단은 5개의 칸으로 이뤄져 있고, 두 사람 중 어느 한 사람이 계단을 다 올라가면 게임이 끝나게 된다. 게임이 끝나는 시점에서 A의 위치를 $\displaystyle x$ 로 표시하자. (A가 계단을 다 올라간 경우 $\displaystyle x=5$ 가 된다.) $\displaystyle x$ 는 확률변수로 볼 수 있다. $\displaystyle x$ 의 확률분포를 특정한 후, $\displaystyle x$ 의 기댓값을 구하시오. (답은 기약분수로 나타낼 것) [15점]

[문제 2-2]

어떤 산업에 두 개의 기업 H, L이 과점구조를 형성하고 있다. $\displaystyle Q$ 를 판매량, $\displaystyle P$ 를 가격이라고 할 때, H의 비용함수는 $\displaystyle C_H(Q)=4Q$ , L의 비용함수는 $\displaystyle C_L(Q)=2Q$ 이다. 시장 수요 곡선은 $\displaystyle Q=10-P$ 로 주어져 있다. 각 기업은 이윤(= 가격×판매량-비용)이 극대화되도록 생산물가격을 정하는데, 두 기업의 가격이 다른 경우 가격이 낮은 기업의 제품만 팔리고, 두 기업의 가격이 같은 경우 시장 수요는 이등분 된다. 가격의 최소단위는 0.01이라고 하자. L이 가격을 $\displaystyle x$ 로 정할 때 H의 최적 가격을 $\displaystyle f(x)$ 로 표시하고, H가 가격을 $\displaystyle y$ 로 정할 때 L의 최적 가격을 $\displaystyle g(y)$ 로 표시하자. 아래의 연립방정식을 풀어 L과 H의 가격을 정한다고 하자. $\displaystyle y=f(x),\ x=g(y)$ 연립방정식의 해의 집합을 $\displaystyle S$ 라고 할 때 $\displaystyle S$ 의 원소의 개수를 구하시오. [20점]Notice. 문제 2-2는 이윤이 같은 최적 가격이 여러 개일 때 어느 가격을 택하는지 정하지 않아, 해집합 $\displaystyle S$ 의 원소 개수가 정해지지 않는 출제 오류 문항이다.

[문제 2-3]

인플레율, 경제성장률, 이자율 간 다음 관계가 성립한다고 하자: $\displaystyle \begin{aligned}\pi_{t+1}&=-\frac9{23}+0.9x_t\\\pi_t&=0.5-0.3(i_t-\pi_{t+1})\\i_t&=0.5\pi_t+0.5x_t\end{aligned}$ 위 식에서 $\displaystyle \pi_t,x_t,i_t$ 는 각각 $\displaystyle t$ 년도의 인플레율, 경제성장률, 이자율을 나타내고, $\displaystyle \pi_{t+1}$ 은 $\displaystyle t+1$ 년도의 인플레율을 나타낸다. $\displaystyle t$ 년도의 인플레율, 경제성장률, 이자율이 각각 $\displaystyle 0,\ \frac7{11},\ \frac7{22}$ 라고 할 때, $\displaystyle \lim_{j\to\infty}\pi_{t+j}+\lim_{k\to\infty}x_{t+k}+\lim_{l\to\infty}i_{t+l}$ 를 구하시오. (답은 기약분수로 나타낼 것.) [25점]Notice. 문제 2-3은 초기값이 주어진 세 식을 동시에 만족하지 않아 구하려는 극한의 수열이 존재하지 않는 출제 오류 문항이다.

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■[문제 2-1]

게임이 끝나는 시점의 A의 위치를 $\displaystyle x$ 라 하고, 이때 B의 위치를 $\displaystyle y$ 라 하자. 게임이 끝날 때의 상황은 $\displaystyle xy$ 평면 위의 한 점으로 생각해 볼 수 있다. 두 사람 중 누군가가 5칸을 다 오르면 게임이 끝나기 때문에, 게임이 끝날 때의 상황은 $\displaystyle (5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5),(0,5)$ 중의 한 점으로 생각할 수 있다. 따라서 $\displaystyle x$ 는 0, 1, 2, 3, 4, 5 중 하나의 값을 가지게 되고, 각각의 확률을 계산하면

$\displaystyle \Pr(x=0)=\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$ $\displaystyle \Pr(x=1)=5\left(\frac12\right)^6=\frac5{64}$ $\displaystyle \Pr(x=2)=\frac{6!}{4!2!}\left(\frac12\right)^7=\frac{15}{128}$ $\displaystyle \Pr(x=3)=\frac{7!}{4!3!}\left(\frac12\right)^8=\frac{35}{256}$ $\displaystyle \Pr(x=4)=\frac{8!}{4!4!}\left(\frac12\right)^9=\frac{35}{256}$ $\displaystyle \Pr(x=5)=\frac12$

기댓값을 계산하면 $\displaystyle 1\cdot\frac5{64}+2\cdot\frac{15}{128}+3\cdot\frac{35}{256}+4\cdot\frac{35}{256}+5\cdot\frac12=\frac{965}{256}$

■[문제 2-2]

L이 가격을 $\displaystyle x$ 로 정하는 경우 H의 최적화 문제를 고려해 보자. H가 가격을 $\displaystyle y$ 로 할 때 H의 이윤을 $\displaystyle \pi(y)$ 하면 $\displaystyle \pi(y)=yQ(y)-4Q(y)$ 이고 이때 $\displaystyle Q(y)=\begin{cases}0,&y>x\\5-0.5y,&y=x\\10-y,&y<x\end{cases}$ 따라서 $\displaystyle \pi(y)=\begin{cases}0,&y>x\\(y-4)(5-0.5y),&y=x\\(y-4)(10-y),&y<x\end{cases}$

$\displaystyle (y-4)(10-y)=-(y-7)^2+9$ 이므로, $\displaystyle x$ 가 7보다 크다면 $\displaystyle \pi(y)$ 의 최댓값은 $\displaystyle y=7$ 에서 얻어지고, $\displaystyle x$ 가 4보다 크고 7과 같거나 작다면 $\displaystyle \pi(y)$ 의 최댓값은 $\displaystyle y=x-0.01$ 에서 얻어진다. $\displaystyle x$ 가 4이거나 그 미만인 경우 $\displaystyle \pi(y)$ 의 최댓값은 $\displaystyle y=4$ 에서 얻어진다. ( $\displaystyle y$ 가 4보다 작으면 $\displaystyle \pi(y)$ 는 음수가 된다.) 따라서 $\displaystyle f(y)=\begin{cases}7,&x=7.01,\ \cdots\\x-0.01,&x=4.01,\ \cdots,\ 7\\0,&x=0,\ \cdots,\ 4\end{cases}$

H가 가격을 $\displaystyle y$ 로 정하는 경우 L의 최적화 문제를 고려해 보자. L이 가격을 $\displaystyle x$ 로 할 때 L의 이윤을 $\displaystyle \pi(x)$ 하면 $\displaystyle \pi(x)=xQ(x)-2Q(x)$ 이고 이때 $\displaystyle Q(x)=\begin{cases}0,&x>y\\5-0.5x,&x=y\\10-x,&x<y\end{cases}$ 따라서 $\displaystyle \pi(x)=\begin{cases}0,&x>y\\(x-2)(5-0.5x),&x=y\\(x-2)(10-x),&x<y\end{cases}$

$\displaystyle (x-2)(10-x)=-(x-6)^2+16$ 이므로, $\displaystyle y$ 가 6보다 크다면 $\displaystyle \pi(x)$ 의 최댓값은 $\displaystyle x=6$ 에서 얻어지고, $\displaystyle y$ 가 2보다 크고 6과 같거나 작다면 $\displaystyle \pi(x)$ 의 최댓값은 $\displaystyle x=y-0.01$ 에서 얻어진다. $\displaystyle y$ 가 2이거나 그 미만인 경우 $\displaystyle \pi(x)$ 의 최댓값은 $\displaystyle x=2$ 에서 얻어진다. ( $\displaystyle x$ 가 2보다 작으면 $\displaystyle \pi(x)$ 는 음수가 된다.) 따라서 $\displaystyle g(y)=\begin{cases}6,&y=6.01,\ \cdots\\y-0.01,&y=2.01,\ \cdots,\ 6\\0,&y=0,\ \cdots,\ 2\end{cases}$

$\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x=g(y)$ 를 $\displaystyle xy$ 평면 위에 그려보면 이 두 식으로 이뤄진 연립방정식은 해를 가지지 않는다. 따라서 집합 $\displaystyle S$ 의 원소의 개수는 0이다.Comment. 원문에는 최적 가격을 하나로 정하는 조건이 누락되어 있어, 제시된 조건만으로는 해집합의 원소 개수를 확정할 수 없다. 예를 들어 $\displaystyle x=3.99$ 이면 H는 $\displaystyle y\ge4$ 인 여러 가격에서 최대 이윤 $\displaystyle 0$ 을 얻으므로 $\displaystyle f(x)$ 가 하나로 정해지지 않는다. 또한 $\displaystyle (x,y)=(3.99,4)$ 는 두 기업이 서로 최적 가격을 선택하는 경우이므로, 최적 반응의 교점이 없다는 대학 예시답안의 설명도 옳지 않다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

■[문제 2-3]

언뜻 보아서는 세 개의 변수가 규칙 없이 나열되어 있는 듯이 보일 수 있지만, 식의 구조를 자세히 들여다보면 하나의 변수와 나머지 두 개의 변수는 대칭적이지 않음을 알 수 있고, 연립방정식을 이 하나의 변수에 대한 식으로 바꾸어 주면 문제는 매우 단순한 구조를 가지고 있음을 알 수 있다.

세 번째 식을 두 번째 식에 대입하면 $\displaystyle 1.15x_t=0.5-0.15\pi_t+0.3\pi_{t+1}$ 첫 번째 식을 위 식에 대입하면 $\displaystyle 0.88\pi_{t+1}=-0.135\pi_t$ 따라서 $\displaystyle \pi_{t+1}=-\frac{27}{176}\pi_t$

즉 $\displaystyle \pi_{t+j}$ 는 등비수열이고 일반항은 다음과 같이 표현할 수 있다: $\displaystyle \pi_{t+j}=\left(-\frac{27}{176}\right)^j\pi_t$ 따라서 $\displaystyle \lim_{j\to\infty}\pi_{t+j}=0$ 이를 문제의 첫 번째 식에 대입하면 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_{t+k}=\frac9{23}\frac{10}{9}=\frac{10}{23}$ 위 두 값을 문제의 마지막 식에 대입하면 $\displaystyle \lim_{l\to\infty}i_{t+l}=\frac5{23}$ 따라서 $\displaystyle \lim_{j\to\infty}\pi_{t+j}+\lim_{k\to\infty}x_{t+k}+\lim_{l\to\infty}i_{t+l}=\frac{15}{23}$ Caution. 수열을 정의할 때는 초기항에서도 정의가 성립하는지 확인해야 한다: 원문에 제시된 식과 초기값은 서로 모순되므로, 이 조건을 모두 만족하는 수열은 존재하지 않는다. 첫째 식에 초기값을 대입하면 $\displaystyle \pi_{t+1}=\frac{459}{2530}$ 인데, 이를 둘째 식에 대입한 우변은 $\displaystyle \frac{2903}{6325}$ 로 초기값 $\displaystyle \pi_t=0$ 과 다르다. 또한 대학 예시답안은 $\displaystyle \pi_t$ 와 $\displaystyle x_t$ 의 자리를 바꾸어 전개하였으므로, 제시한 극한값 $\displaystyle \frac{15}{23}$ 을 원문의 조건에서 얻을 수 없다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

하위 문항	채점 기준	배점
[2-1]	1) 5점 - 두 사람 중 누군가가 5칸을 다 오르면 게임이 끝나기 때문에, 게임이 끝날 때의 상황은 $\displaystyle (5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5),(0,5)$ 중의 한 점으로 생각	15점
[2-1]	2) 10점 - 1)을 기반으로 각각의 확률을 계산하거나 또는 각각의 확률을 계산할 때 실수가 있었으나, 계산한 각각의 확률을 기준으로 하여 기댓값을 바르게 계산	15점
[2-1]	3) 15점 - 1)과 2)를 기반으로 기댓값을 바르게 계산함	15점
[2-2]	1) 3점 - $\displaystyle Q$ 를 변수로 하여 L이 가격을 $\displaystyle x$ 로 정하는 경우 H의 이윤, H가 가격을 $\displaystyle y$ 로 정하는 경우 L의 이윤을 바르게 설정하거나 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 의 범위에 따른 L 또는 H의 생산량에 관한 식 중 하나를 바르게 설정	20점
[2-2]	2) 8점 - 위의 4가지 경우에서 3가지 이상을 바르게 설정	20점
[2-2]	3) 12점 - 1)과 2)를 기반으로 하여 $\displaystyle x$ 또는 $\displaystyle y$ 위 범위에 따라 H 또는 L의 이윤을 바르게 설정	20점
[2-2]	4) 16점 - 1) 2) 3)을 기반으로 하여 H와 L의 이윤에 관한 식과 $\displaystyle x$ 의 범위에 따른 $\displaystyle f(x)$ , 또는 $\displaystyle y$ 의 범위에 따른 $\displaystyle g(y)$ 를 바르게 설정	20점
[2-2]	5) 20점 - 모든 관계를 제대로 설정하여 바르게 답을 도출	20점
[2-3]	1) 5점 - 하나의 식을 대입하여 식을 2개로 줄임	25점
[2-3]	2) 10점 - 식을 모두 이용하여 $\displaystyle \pi_{t+1}$ 과 $\displaystyle \pi_t$ 의 관계식을 찾아내었으나 계산 실수로 관계식이 바르지 않음	25점
[2-3]	3) 15점 - $\displaystyle \pi_{t+1}$ 과 $\displaystyle \pi_t$ 의 관계식을 바르게 찾아냄	25점
[2-3]	4) 20점 - $\displaystyle \pi_t$ 가 등비수열임을 알고 $\displaystyle \lim_{j\to\infty}\pi_{t+j}=0$ 임을 바르게 찾아냄	25점
[2-3]	5) 25점 - $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\pi_{t+k}$ 와 $\displaystyle \lim_{l\to\infty}i_{t+l}$ 의 값을 바르게 찾고 $\displaystyle \lim_{j\to\infty}\pi_{t+j}+\lim_{k\to\infty}x_{t+k}+\lim_{l\to\infty}i_{t+l}$ 을 바르게 찾아냄	25점

※ 하위 문항1)이 있는 경우 칸을 나누어 채점 기준을 작성함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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인문사회계 Ⅱ 2번

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