자연계열 1번

건국대 2020학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2020mo/jayeon_1

제시문 1

(가) 평면에서 직선 $\displaystyle l$ 과 그 위에 있지 않은 점 $\displaystyle P$ 가 있을 때, 점 $\displaystyle P$ 에서 $\displaystyle l$ 위의 점 사이의 거리 중 가장 짧은 것을 점 $\displaystyle P$ 와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리라 한다. 피타고라스 정리를 이용하면 점 $\displaystyle P$ 에서 직선 $\displaystyle l$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 할 때, 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이가 점 $\displaystyle P$ 와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리임을 알 수 있다.

(나) 한 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리를 구하는 것은 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. 먼저, 점 $\displaystyle P$ 에서 선분 $\displaystyle AB$ 를 포함하는 직선에 내린 수선의 발 $\displaystyle H$ 가 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있을 경우 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이가 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리이다 ([그림 1] 참조). 그러나 수선의 발 $\displaystyle H$ 가 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있지 않을 경우 선분 $\displaystyle PA$ 또는 $\displaystyle PB$ 의 길이가 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리이다 ([그림 2] 참조). [그림 2]에서 점 $\displaystyle P$ 에서 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PB$ 의 길이이다.

[문제 1-1] (서술형)함수 $\displaystyle y=|x+1|+|2x-4|$ 의 그래프 위의 점 중 점 $\displaystyle P(1,10)$ 으로부터 거리가 가장 짧은 점을 $\displaystyle Q$ 라 할 때 선분 $\displaystyle PQ$ 의 길이를 구하시오. 풀이과정도 함께 쓰시오.

[문제 1-2] (서술형)네 점 $\displaystyle A(1,0),B(5,0),C(3,4),D(6,8)$ 이 있다. 다음 조건 (*)을 만족하는 점 $\displaystyle P(x,y)$ 가 그리는 도형을 좌표평면에 나타내고 식으로 표현하시오. 풀이과정도 함께 쓰시오. (단, $\displaystyle 0\le x\le5$ )

(*) 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리와 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle CD$ 사이의 거리가 같다.

해설강의 준비중

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채점 기준

하위 문항	채점 기준	배점
[1-1]	F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음
[1-1]	E: $\displaystyle x\le-1$ 이면 $\displaystyle y=-3x+3$ , $\displaystyle -1\le x\le2$ 이면, $\displaystyle y=-x+5$ , $\displaystyle x\ge2$ 이면 $\displaystyle y=3x-3$ 임을 구함
[1-1]	D: E와 더불어 위 방정식들의 그래프를 그림
[1-1]	C: $\displaystyle x\le-1,\ -1\le x\le2,\ x\ge2$ 세 구간 중 한 구간에 대해 점 $\displaystyle P$ 와 직선 사이의 거리를 맞게 구함
[1-1]	B: $\displaystyle x\le-1,\ -1\le x\le2,\ x\ge2$ 세 구간 중 두 구간에 대해 점 $\displaystyle P$ 와 직선 사이의 거리를 구하였으나 한 구간에 대한 값만 맞게 구함
[1-1]	B+: $\displaystyle x\le-1,\ -1\le x\le2,\ x\ge2$ 세 구간 중 두 구간에 대해 점 $\displaystyle P$ 와 직선 사이의 거리를 맞게 구함
[1-1]	A: $\displaystyle x\le-1,\ -1\le x\le2,\ x\ge2$ 세 구간 중 세 구간에 대해 점 $\displaystyle P$ 와 직선 사이의 거리를 구하였으나 두 구간에 대한 값만 맞게 구함
[1-1]	A+: $\displaystyle x\le-1,\ -1\le x\le2,\ x\ge2$ 세 구간 중 세 구간 모두에 대해 점 $\displaystyle P$ 와 직선 사이의 거리를 맞게 구하고, 선분 $\displaystyle PQ$ 의 길이가 $\displaystyle \sqrt{10}$ 임을 구함
[1-2]	F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음
[1-2]	E: 직선 $\displaystyle AC$ 의 방정식의 기울기 2를 구함
[1-2]	D: 사각형 $\displaystyle OAGF$ 영역 내의 점 $\displaystyle P$ 에 대하여, 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PA$ 의 길이이고, 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle CD$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PC$ 의 길이임을 적음
[1-2]	C: D와 더불어, $\displaystyle 0\le x\le1$ 일 때, 선분 $\displaystyle AC$ 의 수직이등분선의 방정식 $\displaystyle y=-\frac12(x-2)+2$ 를 구하고 이를 좌표평면에 나타냄
[1-2]	B: C와 더불어, 사각형 $\displaystyle ABEF$ 영역 내의 점 $\displaystyle P$ 에 대하여, 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle AB$ 사이의 거리는 점 $\displaystyle P$ 와 직선 $\displaystyle AB$ 사이의 거리이고, 점 $\displaystyle P$ 와 선분 $\displaystyle CD$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PC$ 의 길이임을 적음
[1-2]	B+: B와 더불어, $\displaystyle 1\le x\le5$ 일 때, 점 $\displaystyle P(x,y)$ 가 방정식 $\displaystyle y=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$ 를 만족함을 구함
[1-2]	A: B+와 더불어, $\displaystyle 1\le x\le5$ 일 때, $\displaystyle y=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}$ 를 정리하여 포물선 $\displaystyle y=\frac18(x-3)^2+2$ 를 구하고 이를 좌표평면에 나타냄
[1-2]	A+: A와 더불어, $\displaystyle 0\le x\le5$ 를 만족하는 기타 영역에 있는 점 $\displaystyle P$ 는 조건 (*)를 만족하지 않음을 예를 들어 설명함

※ 하위 문항에 따라 칸을 나누어 채점 기준과 배점을 작성하고 필요한 경우 채점 시 유의사항을 추가함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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