인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

(1) 매주, 이군이 가지고 있는 총자본금을 $\displaystyle A$라고 하자. 이군은 $\displaystyle 0.5A$를 투자하게 되고 일주일 후의 수금은 경기가 좋으면 $\displaystyle 0.5A+0.5A=A$, 경기가 나쁘면 0이 되므로 보유하고 있는 총자본금은 경기가 좋으면 $\displaystyle 1.5A$, 경기가 나쁘면 $\displaystyle 0.5A$가 된다. 11주 후에는 모두 10번의 투자에 대한 결과를 가지게 된다. 그리고 매주 전 주의 총자본금 $\displaystyle A$에 대해서 1.5가 5번 곱해지고 0.5가 역시 5번 곱해진다. 따라서 처음의 자본금 1억에 대한 11주 후의 결과는 경기가 좋고 나쁨의 순서에 상관없이$\displaystyle 1\text{억}\times\left(\frac12\right)^5\left(\frac32\right)^5=\left(\frac34\right)^5=\frac{243}{1024}$억원$\displaystyle (\approx0.24)$억원이 된다.결국 $\displaystyle a=b$가 되어 $\displaystyle a-b=0$원이 된다.

(2) 투자 시점으로부터 $\displaystyle 2n+1$주 후에 회수할 경우, 좋을 확률과 경기가 나쁠 확률이 반반씩 유지된다고 했으므로 남는 자본금은$\displaystyle 1\text{억}\times\left(\frac12\right)^n\left(\frac32\right)^n=\left(\frac34\right)^n$억원이다.한편, $\displaystyle 0<x<1$인 실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle n>m$의 관계에 있는 두 자연수 $\displaystyle n,m$에 대해 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{x^n}{x^m}\right)=x^{n-m}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(n-m)x^{n-m-1}>0$이므로 주어진 구간에서 증가함수임. 이 함수는 $\displaystyle x=0$일 때 극소값 $\displaystyle f(0)=0$과 $\displaystyle x=1$일 때 극대값 $\displaystyle f(1)=1$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle 0<x<1$일 때 항상 $\displaystyle x^m>x^n$이 된다.따라서 $\displaystyle x=\frac34$일 때도 $\displaystyle n>m$이면 $\displaystyle \left(\frac34\right)^m>\left(\frac34\right)^n$이 되므로 투자기간이 길어질수록 남는 자본금은 적어진다.

[문제 2-2]

(1) 한국에서 거주할 경우의 4년 간 벌 수 있는 총 소득의 현재가치:$\displaystyle 2\text{천만원}+\frac{2\text{천만원}}{1+0.05}+\frac{2\text{천만원}}{(1+0.05)^2}+\frac{2\text{천만원}}{(1+0.05)^3}=\frac{2\text{천만원}\times\left(1-\left(\frac1{1+0.05}\right)^4\right)}{1-\frac1{1+0.05}}\approx7\text{천}4\text{백}5\text{십만원}$

LA로 이주할 경우의 4년 간 벌 수 있는 총 소득의 현재가치:$\displaystyle 5\text{천만원}+\frac{5\text{천만원}}{1+0.05}+\frac{5\text{천만원}}{(1+0.05)^2}+\frac{5\text{천만원}}{(1+0.05)^3}=\frac{5\text{천만원}\times\left(1-\left(\frac1{1+0.05}\right)^4\right)}{1-\frac1{1+0.05}}\approx1\text{억}8\text{천}6\text{백}2\text{십만원}$

(2) 한국에서 거주할 경우의 총 소득:$\displaystyle 2\text{천만원}+\frac{2\text{천만원}}{(1+0.05)}+\frac{2\text{천만원}}{(1+0.05)^2}+\cdots+\frac{2\text{천만원}}{(1+0.05)^{29}}$첫째 항이 2천만원이고, 공비가 $\displaystyle 1/(1+0.05)$인 경우에 해당되는 등비급수인데, 30년까지 총 소득은$\displaystyle \frac{2\text{천만원}\times\left(1-\left(\frac1{1+0.05}\right)^{30}\right)}{1-\frac1{1+0.05}}\approx3\text{억}2\text{천}2\text{백}8\text{십만원}$으로 계산된다.

LA로 이민을 갈 경우의 총 소득:$\displaystyle 5\text{천만원}+\frac{5\text{천만원}}{(1+0.05)}+\frac{5\text{천만원}}{(1+0.05)^2}+\cdots+\frac{5\text{천만원}}{(1+0.05)^{29}}$위와 동일한 방법으로 LA로 이민을 갈 경우 기대할 수 있는 총 소득은 8억7백만원이 된다.따라서 추정할 수 있는 이민비용의 최솟값은 두 지역의 기대소득 격차인 약 4억8천4백만원으로 추정할 수 있다.

[문제 2-3]

우선 가격변화율을 구하면$\displaystyle \frac{\Delta P}{P}=\frac{10-9}{10}=0.1$이 된다.

다음으로 수요량 변화율 계산에 필요한 원래 수요량을 구하면 아래와 같다. 가격이 10일 때는 두 번째 형태의 수요함수를 가진 소비자들은 이북을 전혀 소비하지 않고, 첫 번째 형태의 수요함수를 가진 소비자들만 이북을 구매하게 되는데, 소비자 한명 당 이북을 10권씩 소비한다. 따라서 이북의 가격이 10일 때 전체 이북 소비량은 500권이 된다. 가격이 9로 하락했을 때, 수요량은 우선 첫 번째 형태의 수요함수를 가진 소비자들은 550권을 소비하고, 두 번째 형태의 수요함수를 가진 소비자들은 한명 당 10권씩 총 500권을 수요하게 된다. 그러므로 가격이 9일 때 총 1050권의 책이 소비된다. 따라서 수요량 변화율은$\displaystyle \frac{\Delta Q}{Q}=\frac{500-1050}{500}=-1.1$이 된다.

따라서 11이 된다.