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자연계열 2번

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건국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021mo/jayeon_2

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제시문 ②

(가) 다음은 삼각함수의 덧셈정리이다.sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β, sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β, cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betatan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β, tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

(나) [그림 3]은 원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1, 점 A(0,a)\displaystyle A(0,a)에서 원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1에 그은 접선 l1\displaystyle l_1, 그리고 점 B(0,3a)\displaystyle B(0,\sqrt3a)에서 원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1에 그은 접선 l2\displaystyle l_2를 나타낸 것이다.

(다) [그림 4]는 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2에 접하고 양의 x\displaystyle x축과 만나서 생기는 예각의 크기가 θ\displaystyle \theta인 직선 l\displaystyle l을 나타낸 것이다. 점 P(x,0)\displaystyle P(x,0)은 직선 l\displaystyle l과 x\displaystyle x축의 교점이다.

원에 그은 두 접선 및 포물선에 그은 접선과 x축의 교점

[문제 2-1] (서술형): [그림 3]에서 직선 l1\displaystyle l_1과 x\displaystyle x축이 만나서 생기는 예각의 크기가 θ\displaystyle \theta이고, 직선 l2\displaystyle l_2와 x\displaystyle x축이 만나서 생기는 예각의 크기가 2θ\displaystyle 2\theta일 때, θ\displaystyle \theta의 값을 구하시오. 풀이 과정도 함께 쓰시오.

[문제 2-2] (서술형): [그림 4]에서 x=c\displaystyle x=c일 때 θ=α\displaystyle \theta=\alpha이고, x=3c\displaystyle x=3c일 때 θ=2α\displaystyle \theta=2\alpha이다. x=c\displaystyle x=c에서 dθdx\displaystyle \frac{d\theta}{dx}를 구하시오. 풀이 과정도 함께 쓰시오.

해설강의 준비중

건국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2021mo/jayeon_2

채점 기준

하위 문항채점 기준배점
2-1A+: A와 더불어 정답을 구함20
2-1A: B+와 더불어 cos⁡θ=32\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3}2을 구함20
2-1B+: C와 더불어 23cos⁡2θ−cos⁡θ−3=0\displaystyle 2\sqrt3\cos^2\theta-\cos\theta-\sqrt3=0을 구함20
2-1B: C와 더불어 cos⁡2θ=cos⁡(θ+θ)=cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θsin⁡θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\displaystyle \cos2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta를 구함20
2-1C: 3sec⁡θ=sec⁡2θ\displaystyle \sqrt3\sec\theta=\sec2\theta를 구함20
2-1D: a=sec⁡θ\displaystyle a=\sec\theta와 3a=sec⁡2θ\displaystyle \sqrt3a=\sec2\theta 둘 모두 구함20
2-1E: a=sec⁡θ\displaystyle a=\sec\theta 또는 3a=sec⁡2θ\displaystyle \sqrt3a=\sec2\theta를 구함20
2-1F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음20
2-2A+: A와 더불어 정답을 구함25
2-2A: B+와 더불어 dθdx=41+16x2\displaystyle \frac{d\theta}{dx}=\frac4{1+16x^2}를 구함25
2-2B+: B와 더불어 c=143\displaystyle c=\frac1{4\sqrt3}를 구함25
2-2B: C와 더불어 tan⁡2α=13\displaystyle \tan^2\alpha=\frac13을 구함25
2-2C: D와 더불어 3tan⁡α=tan⁡2α\displaystyle 3\tan\alpha=\tan2\alpha를 구함25
2-2D: x=tan⁡θ4\displaystyle x=\frac{\tan\theta}4를 구함25
2-2E: x\displaystyle x와 θ\displaystyle \theta의 관계식을 구하였으나 틀림25
2-2F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음25

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