약학과 1-1번

고려대 세종캠퍼스 2025학년도 수시 약학과 1-1번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2025su/yak_1_1

1. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<가> 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle i$ 에 대하여 $\displaystyle a_{i+1}-a_i$ 의 값이 일정하면 등차수열이라 하고, $\displaystyle a_{i+1}-a_i$ 의 값을 공차라 한다. 즉, 등차수열은 첫째항이 $\displaystyle a_1$ 이고, 공차가 $\displaystyle d$ 이면 $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d$ 를 일반항으로 하는 수열이다.

1-1. 함수 $\displaystyle f(x)=\sin\pi x$ 와 $\displaystyle 0<L<1$ 인 실수 $\displaystyle L$ , 양의 정수 $\displaystyle m$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x\le2$ 에서 $\displaystyle x$ 에 대한 방정식 $\displaystyle |f(mx)|=L$ 의 서로 다른 $\displaystyle n$ 개의 실근 $\displaystyle b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_n\ (b_i<b_{i+1},\ i=1,2,3,\cdots,n-1)$ 은 이 순서대로 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열을 이룬다. 이때 $\displaystyle L$ 의 값을 구하고, $\displaystyle d$ 와 $\displaystyle n$ 을 $\displaystyle m$ 에 관한 식으로 표현하고, 그 과정에 대해 논술하시오. [100점]

해설강의 준비중

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+25점 ·

\displaystyle f(mx)

또는

\displaystyle |f(mx)|

의 주기를 구함.

1-1함수 $\displaystyle f(x)$ 는 주기가 2인 함수이므로 양의 정수 $\displaystyle m$ 에 대하여 $\displaystyle f(mx)$ 는 주기가 $\displaystyle \frac2m$ 인 함수이다. 그러므로 $\displaystyle 0\le x\le2$ 인 범위에서 주기가 $\displaystyle \frac2m$ 인 함수의 그래프는 $\displaystyle m$ 번 반복해서 그려진다.

+25점 · 근의 개수

\displaystyle n=4m

를 구함.

$\displaystyle 0<L<1$ 인 $\displaystyle L$ 에 대하여 $\displaystyle f(mx)$ 의 한 주기 당 $\displaystyle |f(mx)|=L$ 의 근의 개수는 4개이므로 $\displaystyle |f(mx)|=L$ 의 근의 개수는 $\displaystyle n=4m$ 이다.

+25점 · 등차수열의 공차

\displaystyle d=\frac1{2m}

를 구함.

한 주기마다 4개의 근이 생기므로 첫 번째 주기의 근을 $\displaystyle b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$ 라 할 때, 사인함수의 성질에 의해 $\displaystyle b_1+b_4=b_2+b_3=\frac2m$ 이므로 $\displaystyle 2b_1+3d=\frac2m$ 이고, $\displaystyle b_1+b_2=\frac1m$ 이므로 $\displaystyle 2b_1+d=\frac1m$ 이다.따라서 $\displaystyle 2d=\frac1m$ 이다. 그러므로 $\displaystyle d=\frac1{2m}$ 이고, $\displaystyle b_1=\frac1{4m}$ 이다.

+25점 ·

\displaystyle L=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}

를 구함.

따라서 $\displaystyle L=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$ 이다.

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