수리논술, 이게 다다.

약학과 1-2·1-3번

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고려대 세종캠퍼스 2025학년도 수시 약학과 1-2·1-3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2025su/yak_1_2_3

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1. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<나> 양의 실수 a, b, k\displaystyle a,\ b,\ k에 대하여 정의역이 {x  |  ∣x∣<ab}\displaystyle \left\{x\;\middle|\;|x|<\sqrt{\frac{a}{b}}\right\}인 두 함수 g(x)\displaystyle g(x)와 h(x)\displaystyle h(x)가g(x)=ka+bx2\displaystyle g(x)=\frac{k}{\sqrt{a+bx^2}}, h(x)=ka−bx2\displaystyle h(x)=\frac{k}{\sqrt{a-bx^2}}라 하자.

1-2. 제시문 <나>에서 정의된 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 정의역의 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다음 식을 만족시킨다고 하자.x{g(x)}3+g′(x)=0\displaystyle x\{g(x)\}^3+g^{\prime}(x)=0이며, 양의 실수 k\displaystyle k의 값을 b\displaystyle b에 관한 식으로 표현하고, 그 과정에 대해 논술하시오. [80점]

1-3. 제시문 <나>에서 정의된 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 k\displaystyle k가 문제 1-2에서 구한 k\displaystyle k라 하자. 이때, b<16a\displaystyle b<16a이면두 함수 g(x)\displaystyle g(x)와 h(x)\displaystyle h(x)는 다음을 만족시킨다.

(1) {h(a2b)}2−{g(a2b)}2=b3\displaystyle \left\{h\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2-\left\{g\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2=\frac{b}{3}

(2) 곡선 y=h(x)\displaystyle y=h(x) 위의 점 (14,h(14))\displaystyle \left(\frac14,h\left(\frac14\right)\right)에서의 접선이 원점을 지난다.

곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x) 위의 점 P(14,g(14))\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac14,g\left(\frac14\right)\right)에서의 접선이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 Q(q,0)\displaystyle \mathrm{Q}(q,0)라 하자. 원점 O\displaystyle \mathrm{O}에 대하여 삼각형 PQO\displaystyle \mathrm{PQO}의 넓이를 구하고, 그 과정을 논술하시오. [120점]

해설강의 준비중

고려대 세종캠퍼스 2025학년도 수시 약학과 1-2·1-3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2025su/yak_1_2_3

+30점 · g′(x)=−k(bx(a+bx2)3/2)\displaystyle g^{\prime}(x)=-k\left(\frac{bx}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)를 구함.

1-2함수 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여[g(x)]3=k3(a+bx2)3/2\displaystyle [g(x)]^3=\frac{k^3}{(a+bx^2)^{3/2}}이고, g′(x)=−k(bx(a+bx2)3/2)\displaystyle g^{\prime}(x)=-k\left(\frac{bx}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)이다.

+20점 · k3x(a+bx2)3/2−kb(x(a+bx2)3/2)=0\displaystyle \frac{k^3x}{(a+bx^2)^{3/2}}-kb\left(\frac{x}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)=0가 항등식임을 이용하여 k3=kb\displaystyle k^3=kb임을 구함.

k3x(a+bx2)3/2−kb(x(a+bx2)3/2)=0\displaystyle \frac{k^3x}{(a+bx^2)^{3/2}}-kb\left(\frac{x}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)=0을 만족하므로이므로 k3=kb\displaystyle k^3=kb이다.

+30점 · k=b\displaystyle k=\sqrt{b}를 구함.

따라서 k2=b\displaystyle k^2=b이다. 따라서 k=b\displaystyle k=\sqrt b이다.

+25점 · {h(a2b)}2−{g(a2b)}2=2ba−2b3a=4b3a=b3\displaystyle \left\{h\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2-\left\{g\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2=\frac{2b}{a}-\frac{2b}{3a}=\frac{4b}{3a}=\frac{b}{3}을 이용하여 a=4\displaystyle a=4를 구함.

1-3[1-2]의 결과에 의해 함수 g(x)=ba+bx2\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt b}{\sqrt{a+bx^2}}이고, h(x)=ba−bx2\displaystyle h(x)=\frac{\sqrt b}{\sqrt{a-bx^2}}이다.{h(a2b)}2−{g(a2b)}2=2ba−2b3a=4b3a=b3\displaystyle \left\{h\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2-\left\{g\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2=\frac{2b}{a}-\frac{2b}{3a}=\frac{4b}{3a}=\frac b3이므로 a=4\displaystyle a=4이다.

+25점 · x=14\displaystyle x=\frac14에서의 g(x)\displaystyle g(x)의 접선이 원점을 지난다는 것을 이용하여 b=32\displaystyle b=32를 구함.

Correction. 이 기준의 g(x)\displaystyle g(x)는 문제의 조건 및 예시답안에 비추어 h(x)\displaystyle h(x)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

h′(x)=bb x(4−bx2)3/2\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{b\sqrt b\,x}{(4-bx^2)^{3/2}}이므로 (14,h(14))\displaystyle \left(\frac14,h\left(\frac14\right)\right)에서의 접선의 방정식은y=bb4(4−b16)3/2(x−14)+b(4−b16)1/2\displaystyle y=\frac{\frac{b\sqrt b}{4}}{\left(4-\frac b{16}\right)^{3/2}}\left(x-\frac14\right)+\frac{\sqrt b}{\left(4-\frac b{16}\right)^{1/2}}이다. 이 접선이 원점을 지나므로−bb16(4−b16)3/2+b(4−b16)1/2=0\displaystyle -\frac{\frac{b\sqrt b}{16}}{\left(4-\frac b{16}\right)^{3/2}}+\frac{\sqrt b}{\left(4-\frac b{16}\right)^{1/2}}=0이다. 따라서 b=32\displaystyle b=32이고 g(x)=324+32x2\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{4+32x^2}}이다.

+25점 · 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 y\displaystyle y좌표를 구함.

이때 g(14)=326=43\displaystyle g\left(\frac14\right)=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt6}=\frac4{\sqrt3}이므로 점 P\displaystyle \mathrm{P}는 (14,43)\displaystyle \left(\frac14,\frac4{\sqrt3}\right)이다.

+25점 · g(x)\displaystyle g(x)의 접선의 방정식을 이용하여 x\displaystyle x축 과의 교점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 x\displaystyle x좌표가 1\displaystyle 1임을 구함.

그리고 g′(x)=−3232x(4+32x2)3/2\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{32\sqrt{32}x}{(4+32x^2)^{3/2}}이므로 g′(14)=−1633\displaystyle g^{\prime}\left(\frac14\right)=-\frac{16}{3\sqrt3}이다. 따라서 접선의 방정식은y=−1633(x−14)+43\displaystyle y=-\frac{16}{3\sqrt3}\left(x-\frac14\right)+\frac4{\sqrt3}이므로 x\displaystyle x축과 만나는 점의 x\displaystyle x좌표는1633x=433+43=1633⇒x=1\displaystyle \frac{16}{3\sqrt3}x=\frac4{3\sqrt3}+\frac4{\sqrt3}=\frac{16}{3\sqrt3}\Rightarrow x=1이므로 x\displaystyle x축과 만나는 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 (1,0)\displaystyle (1,0)이다.

+20점 · 삼각형 PQO\displaystyle \mathrm{PQO}의 넓이를 구함.

따라서 세 점 P(14,43)\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac14,\frac4{\sqrt3}\right), Q(1,0)\displaystyle \mathrm{Q}(1,0), O(0,0)\displaystyle \mathrm{O}(0,0)로 만들어지는 삼각형 PQO\displaystyle \mathrm{PQO}의 넓이는 23=233\displaystyle \frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}이다.

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