약학과 1번

1-1함수 $\displaystyle f(x)$는 주기가 2인 함수이므로 양의 정수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle f(mx)$는 주기가 $\displaystyle \frac2m$인 함수이다. 그러므로 $\displaystyle 0\le x\le2$인 범위에서 주기가 $\displaystyle \frac2m$인 함수의 그래프는 $\displaystyle m$번 반복해서 그려진다. $\displaystyle 0<L<1$인 $\displaystyle L$에 대하여 $\displaystyle f(mx)$의 한 주기 당 $\displaystyle |f(mx)|=L$의 근의 개수는 4개이므로 $\displaystyle |f(mx)|=L$의 근의 개수는 $\displaystyle n=4m$이다. 한 주기마다 4개의 근이 생기므로 첫 번째 주기의 근을 $\displaystyle b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$라 할 때, 사인함수의 성질에 의해 $\displaystyle b_1+b_4=b_2+b_3=\frac2m$이므로 $\displaystyle 2b_1+3d=\frac2m$이고, $\displaystyle b_1+b_2=\frac1m$이므로 $\displaystyle 2b_1+d=\frac1m$이다.따라서 $\displaystyle 2d=\frac1m$이다. 그러므로 $\displaystyle d=\frac1{2m}$이고, $\displaystyle b_1=\frac1{4m}$이다. 따라서 $\displaystyle L=\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$이다.

1-2함수 $\displaystyle g(x)$에 대하여$\displaystyle [g(x)]^3=\frac{k^3}{(a+bx^2)^{3/2}}$이고, $\displaystyle g^{\prime}(x)=-k\left(\frac{bx}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)$이다.$\displaystyle \frac{k^3x}{(a+bx^2)^{3/2}}-kb\left(\frac{x}{(a+bx^2)^{3/2}}\right)=0$을 만족하므로이므로 $\displaystyle k^3=kb$이다. 따라서 $\displaystyle k^2=b$이다. 따라서 $\displaystyle k=\sqrt b$이다.

1-3[1-2]의 결과에 의해 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt b}{\sqrt{a+bx^2}}$이고, $\displaystyle h(x)=\frac{\sqrt b}{\sqrt{a-bx^2}}$이다.$\displaystyle \left\{h\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2-\left\{g\left(\sqrt{\frac{a}{2b}}\right)\right\}^2=\frac{2b}{a}-\frac{2b}{3a}=\frac{4b}{3a}=\frac b3$이므로 $\displaystyle a=4$이다.$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{b\sqrt b\,x}{(4-bx^2)^{3/2}}$이므로 $\displaystyle \left(\frac14,h\left(\frac14\right)\right)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=\frac{\frac{b\sqrt b}{4}}{\left(4-\frac b{16}\right)^{3/2}}\left(x-\frac14\right)+\frac{\sqrt b}{\left(4-\frac b{16}\right)^{1/2}}$이다. 이 접선이 원점을 지나므로$\displaystyle -\frac{\frac{b\sqrt b}{16}}{\left(4-\frac b{16}\right)^{3/2}}+\frac{\sqrt b}{\left(4-\frac b{16}\right)^{1/2}}=0$이다. 따라서 $\displaystyle b=32$이고 $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{4+32x^2}}$이다.이때 $\displaystyle g\left(\frac14\right)=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt6}=\frac4{\sqrt3}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle \left(\frac14,\frac4{\sqrt3}\right)$이다.그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{32\sqrt{32}x}{(4+32x^2)^{3/2}}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}\left(\frac14\right)=-\frac{16}{3\sqrt3}$이다. 따라서 접선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac{16}{3\sqrt3}\left(x-\frac14\right)+\frac4{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle \frac{16}{3\sqrt3}x=\frac4{3\sqrt3}+\frac4{\sqrt3}=\frac{16}{3\sqrt3}\Rightarrow x=1$이므로 $\displaystyle x$축과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle (1,0)$이다. 따라서 세 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac14,\frac4{\sqrt3}\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}(1,0)$, $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$로 만들어지는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQO}$의 넓이는 $\displaystyle \frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$이다.