인문계열 1번

I-1

함수 $\displaystyle f(x)=x-1$와 $\displaystyle h(x)=x^3-x^2+a$가 주어져 있다고 하자. (이 때, $\displaystyle a$는 상수이다.)

① $\displaystyle g(x)=1+\int_0^xf(t)dt$를 구하고 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프를 그리시오.

② $\displaystyle g(x)=0$의 한 근이 $\displaystyle h(x)=0$를 만족할 때, $\displaystyle a$의 값을 구하시오.Comment. ①에서 구한 $\displaystyle g(x)=\frac12(x-1)^2+\frac12$는 모든 실수 $\displaystyle x$에서 양수이다. 따라서 실수 범위에서는 ②의 두 방정식이 공통근을 가질 수 없다. 다만 두 다항방정식의 허근까지 고려하면 $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle 1\pm i$가 공통근이 된다.

③ $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축, $\displaystyle y=h(x)$의 그래프에 의해 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (②에서 구한 $\displaystyle a$를 사용하시오.)