자연계열 (오후) 2번

(1) $\displaystyle 1$회 통과한 후 유해물질의 양은 $\displaystyle 100-(100\times0.8)=20$이다.2회 통과한 후 유해물질의 양은 다음과 같다.$\displaystyle 20-20\times0.6=8$

(2) $\displaystyle 4$회 통과한 후 혼합물에 포함된 유해물질의 양은 다음과 같다.$\displaystyle 8(1-0.2)^2=8\left(\frac45\right)^2=\frac{128}{25}$

(3) 여과기를 $\displaystyle n$번 통과했을 때 유해물질의 양은$\displaystyle 8(1-0.2)^{n-2}=8\left(\frac8{10}\right)^{n-2}\quad(n\ge3)$유해물질의 양이 $\displaystyle 0.1$g이하가 되기 위해서는$\displaystyle 8\left(\frac8{10}\right)^{n-2}\le10^{-1}$을 만족해야 한다. 양변에 로그를 취하면$\displaystyle 3(n-1)\log2-(n-2)\le-1$$\displaystyle n(3\log2-1)\le3\log2-3$$\displaystyle n\ge\frac{3-3\log2}{1-3\log2}=21.6\cdots$따라서 위의 부등식을 만족하는 최솟값 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 22$이다.