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자연계열 (오후) 2번

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한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_2

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문제

유해물질 100\displaystyle 100g이 포함된 혼합물을 여과기에 여러 번 통과시켜 정화하려 한다. 처음으로 여과기를 통과할 때에는 유해물질의 80%\displaystyle 80\%가 제거되고, 두 번째 통과할 때에는 60%\displaystyle 60\%가 제거된다. 세 번째 이후부터는 20%\displaystyle 20\%씩 일정한 비율로 유해물질이 제거된다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 2\displaystyle 2회 통과했을 때, 혼합물에 포함된 유해물질의 양을 구하시오. (5점)

(2) 4\displaystyle 4회 통과했을 때, 혼합물에 포함된 유해물질의 양을 구하시오. (6점)

(3) 유해물질 100\displaystyle 100g을 0.1\displaystyle 0.1g이하로 줄이기 위한 최소 통과 횟수를 구하시오. (단, log⁡2=0.3010\displaystyle \log2=0.3010으로 계산한다.) (9점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_2

+5점 · 유해물질의 양 8\displaystyle 8g을 구할 수 있다.

(1) 1\displaystyle 1회 통과한 후 유해물질의 양은 100−(100×0.8)=20\displaystyle 100-(100\times0.8)=20이다.2회 통과한 후 유해물질의 양은 다음과 같다.20−20×0.6=8\displaystyle 20-20\times0.6=8

+6점 · 유해물질의 양 12825\displaystyle \frac{128}{25}g(또는 5.12\displaystyle 5.12g)을 구할 수 있다.

(2) 4\displaystyle 4회 통과한 후 혼합물에 포함된 유해물질의 양은 다음과 같다.8(1−0.2)2=8(45)2=12825\displaystyle 8(1-0.2)^2=8\left(\frac45\right)^2=\frac{128}{25}

+5점 · 식 8(1−0.2)n−2=8(810)n−2(n≥3)\displaystyle 8(1-0.2)^{n-2}=8\left(\frac8{10}\right)^{n-2}\quad(n\ge3)을 구할 수 있다.

(3) 여과기를 n\displaystyle n번 통과했을 때 유해물질의 양은8(1−0.2)n−2=8(810)n−2(n≥3)\displaystyle 8(1-0.2)^{n-2}=8\left(\frac8{10}\right)^{n-2}\quad(n\ge3)

+4점 · 최소 통과 횟수 22\displaystyle 22회를 구할 수 있다.

유해물질의 양이 0.1\displaystyle 0.1g이하가 되기 위해서는8(810)n−2≤10−1\displaystyle 8\left(\frac8{10}\right)^{n-2}\le10^{-1}을 만족해야 한다. 양변에 로그를 취하면3(n−1)log⁡2−(n−2)≤−1\displaystyle 3(n-1)\log2-(n-2)\le-1n(3log⁡2−1)≤3log⁡2−3\displaystyle n(3\log2-1)\le3\log2-3n≥3−3log⁡21−3log⁡2=21.6⋯\displaystyle n\ge\frac{3-3\log2}{1-3\log2}=21.6\cdots따라서 위의 부등식을 만족하는 최솟값 n\displaystyle n은 22\displaystyle 22이다.

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