자연계열 (오후) 3번

(1) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(-x)$이므로$\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=x^4-ax^3+bx^2-cx+d$$\displaystyle 2ax^3+2cx=0$ ⋯⋯①식 ①은 $\displaystyle x$에 관한 항등식이므로 $\displaystyle a=0,c=0$이다.또한 $\displaystyle f(0)=6$이므로 $\displaystyle d=6$이다.따라서 $\displaystyle a+c+d=6$이다.

(2) 조건 (나)에 의해 함수 $\displaystyle f(x)=x^4+bx^2+6$의 극솟값은 $\displaystyle -3$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+2bx=x(4x^2+2b)=0$을 풀면$\displaystyle x=0,x=\sqrt{-\frac b2},x=-\sqrt{-\frac b2}$ (단, $\displaystyle b<0$)함수$\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle x^2=-\frac b2$를 $\displaystyle f(x)$에 대입하면$\displaystyle \left(-\frac b2\right)^2+b\left(-\frac b2\right)+6=-3$$\displaystyle -\frac{b^2}{4}=-9$$\displaystyle b=\pm6$이고, $\displaystyle b<0$이므로 $\displaystyle b=-6$이다.

따라서 최댓값은 $\displaystyle 1$이고 최솟값은 $\displaystyle -3$이다.