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자연계열 (오후) 1번

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한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_1

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문제

그림과 같이 반지름이 5\displaystyle \sqrt5인 원에 내접하는 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 다음 조건을 만족시킨다.

반지름 루트5인 원에 내접하는 삼각형 ABC

(가) ∠BAC=60∘\displaystyle \angle BAC=60^\circ (나) AC‾−AB‾=2\displaystyle \overline{AC}-\overline{AB}=2

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) BC‾\displaystyle \overline{BC}의 값을 구하시오. (6점)

(2) AC‾×AB‾\displaystyle \overline{AC}\times\overline{AB}의 값을 구하시오. (7점)

(3) (AB‾+BC‾+AC‾−15)2\displaystyle (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}-\sqrt{15})^2의 값을 구하시오. (7점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_1

a=BC‾,b=AC‾,c=AB‾\displaystyle a=\overline{BC},b=\overline{AC},c=\overline{AB}라고 하자.

+6점 · BC‾\displaystyle \overline{BC}의 값 15\displaystyle \sqrt{15}를 구할 수 있다.

(1) ∠A=60∘\displaystyle \angle A=60^\circ이고 R=5\displaystyle R=\sqrt5이므로 사인법칙 asin⁡A=2R\displaystyle \frac a{\sin A}=2R(단, R\displaystyle R은 외접원의 반지름이다.)에 의해a=sin⁡A×2R=32×25=15\displaystyle a=\sin A\times2R=\frac{\sqrt3}{2}\times2\sqrt5=\sqrt{15}

+3점 · 15=b2+c2−2bc×12\displaystyle 15=b^2+c^2-2bc\times\frac12을 구할 수 있다.

(2) 코사인법칙 a2=b2+c2−2bccos⁡A\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A에 의해15=b2+c2−2bc×12\displaystyle 15=b^2+c^2-2bc\times\frac12

+4점 · AC‾×AB‾\displaystyle \overline{AC}\times\overline{AB}의 값 11\displaystyle 11을 구할 수 있다.

b2+c2−bc=15\displaystyle b^2+c^2-bc=15(b−c)2+bc=15\displaystyle (b-c)^2+bc=15b−c=2\displaystyle b-c=2이므로bc=11\displaystyle bc=11

+4점 · b+c=43\displaystyle b+c=4\sqrt3을 구할 수 있다.

(3) b2+c2−bc=15\displaystyle b^2+c^2-bc=15를 변형하면(b+c)2−3bc=15\displaystyle (b+c)^2-3bc=15이고, bc=11\displaystyle bc=11이므로b+c=43\displaystyle b+c=4\sqrt3

+3점 · (AB‾+BC‾+AC‾−15)2\displaystyle (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}-\sqrt{15})^2의 값 48\displaystyle 48을 구할 수 있다.

따라서 a+b+c=43+15\displaystyle a+b+c=4\sqrt3+\sqrt{15}구하는 값은(AB‾+BC‾+AC‾−15)2=48\displaystyle (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}-\sqrt{15})^2=48

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