자연계열 2번

길이, 넓이, 부피, 온도, 질량과 같은 양은 단지 크기에 의해 결정될 수 있다. 그러나 변위, 속도, 힘 등의 양에는 크기와 방향 모두 필요하다. 이것을 간단히 벡터라고 한다. 벡터는 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽, 경영학 등 많은 영역에서 중요한 역할을 한다.

2차원 평면의 임의의 두 벡터에 대해서 내적과 거리함수를 다음과 같이 정의한다.

A. 임의의 두 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2)$, $\displaystyle \vec b=(b_1,b_2)$의 내적은 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$이고, $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$ 사이의 거리는 $\displaystyle \|\vec a-\vec b\|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$이다. 이 때 $\displaystyle \|\vec a\|$는 원점인 영벡터 $\displaystyle \vec0$와 벡터 $\displaystyle \vec a$ 사이의 거리이다.

B. 임의의 세 벡터 $\displaystyle \vec a,\vec b,\vec c$와 임의의 실수 $\displaystyle k$에 대해서 내적은 다음의 성질을 만족한다.(a) $\displaystyle \vec a\cdot\vec a\ge0$(b) $\displaystyle \vec a\cdot\vec a=0$일 필요충분조건은 $\displaystyle \vec a=\vec0$이다.(c) $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$(d) $\displaystyle \vec a\cdot(k\vec b+\vec c)=k\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c$

C. $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$는 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=(a_1\;a_2)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$로 나타낼 수 있다.

D. 임의의 두 벡터 $\displaystyle \vec a,\vec b$와 임의의 실수 $\displaystyle k$에 대해서 거리는 다음의 성질을 만족한다.(a) $\displaystyle \|\vec a\|\ge0$(b) $\displaystyle \|\vec a\|=0$일 필요충분조건은 $\displaystyle \vec a=\vec0$이다.(c) $\displaystyle \|k\vec a\|=|k|\|\vec a\|$(d) $\displaystyle \|\vec a+\vec b\|\le\|\vec a\|+\|\vec b\|$

E. 임의의 두 평면 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2)$, $\displaystyle \vec b=(b_1,b_2)$에 대해서 실수 $\displaystyle \langle\vec a,\vec b\rangle$로의 함수가 B의 성질을 모두 만족하면 일반화된 내적이라 한다.

F. 임의의 평면 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2)$에 대해서 실수 $\displaystyle \|\vec a\|$로의 함수가 D의 성질을 모두 만족하면 일반화된 거리라 한다.