자연계열 1번

[ 문제 1 ](1) $\displaystyle \vec a=\langle a_1,a_2\rangle$, $\displaystyle \vec b=\langle b_1,b_2\rangle$, $\displaystyle k\in\mathbb R$라 두자. 일반화된 내적은 B의 모든 성질을 만족해야 한다.

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=(a_1\;a_2)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1b_1a+a_1b_2b+a_2b_1c+a_2b_2d$$\displaystyle \vec b\cdot\vec a=(b_1\;b_2)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=a_1b_1a+a_2b_1b+a_1b_2c+a_2b_2d$이다. --(5점)

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$로부터 $\displaystyle (b-c)(a_1b_2-a_2b_1)=0$이다.임의의 $\displaystyle \vec a,\vec b$에 대하여 성립해야 하므로 $\displaystyle b=c$이다. --(5점)

(2) $\displaystyle \vec a\ne\vec0$인 경우 $\displaystyle \vec a\cdot\vec a>0$이고 $\displaystyle b=c$를 이용하자.$\displaystyle \vec a\cdot\vec a=a_1^2a+2a_1a_2b+a_2^2d=a(a_1^2)+2a_2b(a_1)+a_2^2d>0$이다. --(5점)즉, $\displaystyle a>0$, $\displaystyle (a_2b)^2-a_2^2ad<0$이므로 $\displaystyle a>0$, $\displaystyle ad-bc>0$이다. --(5점)

(3) $\displaystyle 7=\langle(1,1),(1,1)\rangle=(1\;1)\begin{pmatrix}a&b\\c&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=a+b+c+2$ --(6점)$\displaystyle b=c$, $\displaystyle 2a-bc>0$ ($\displaystyle a,b,c\in\mathbb N$)이므로 $\displaystyle a+2b=5$로부터 $\displaystyle a=3,b=1,c=1$이다. --(9점)