자연계열 B 2번

[문제 2] 각 변의 길이가 1인 정사면체의 네 꼭짓점을 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$라 하자. 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm A,\mathrm B$를 포함하는 평면을 $\displaystyle \alpha$라 하고, 선분 OA를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 P,

선분 AB를 $\displaystyle 3:7$로 내분하는 점을 Q라 하자. 또한, 평면 $\displaystyle \alpha$에 수직이고 선분 PQ를 포함하는 평면이 선분 AC와 만나는 점을 R라 하자.

(2-1) 점 C에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm C_1$이라 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$일 때, 실수 $\displaystyle m,n$을 구하시오. (60점)

(2-2) 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 점 S에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm S_1$이라 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}$일 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}_1}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OB}}$이다. 실수 $\displaystyle p,q$를 실수 $\displaystyle a,b,c$의 식으로 나타내시오. (60점)

(2-3) R는 선분 AC를 $\displaystyle (1-t):t$로 내분하는 점이다. 실수 $\displaystyle t$를 구하시오. (60점)