자연계열 B 3번

세종대 2019학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeonb_3

[문제 3] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle f\prime(x)=f(x^2)-5x^2$

(나) $\displaystyle f\prime(x)\ge5$

(다) $\displaystyle f(1)=a$ 이고 $\displaystyle f(0)=5$ 이다.

(3-1) $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle y=f(x)$ 의 접선의 방정식 $\displaystyle y=h(x)$ 를 $\displaystyle a$ 의 식으로 나타내시오. (60점)

(3-2) $\displaystyle x\ge0$ 일 때 $\displaystyle f(x)-5x$ 의 최솟값을 구하시오. (60점)

(3-3) $\displaystyle x\ge0$ 일 때 $\displaystyle g(x)=f(x)-h(x)$ 의 최솟값을 구하시오. (60점)

(3-4) $\displaystyle 0\le x\le1$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle a$ 를 각각 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2019학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeonb_3

[문제 3]

30점 ·

\displaystyle f\prime(1)=a-5

(3-1) $\displaystyle f\prime(1)=f(1)-5=a-5$ 이므로

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답이 맞으면

$\displaystyle h(x)=(a-5)(x-1)+a=(a-5)x+5$ 이다.

25점

(3-2) $\displaystyle u(x)=f(x)-5x$ 라 하면 $\displaystyle u\prime(x)=f\prime(x)-5\ge0$ 이므로 $\displaystyle x\ge0$ 이면 $\displaystyle u(x)\ge u(0)$ 이다.

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답이 맞으면

따라서 $\displaystyle x\ge0$ 에서 $\displaystyle u(x)$ 의 최솟값은 $\displaystyle u(0)=f(0)-0=5$ 이다.

(3-3) $\displaystyle g(x)=f(x)-(a-5)x-5$ 이므로 $\displaystyle g\prime(x)=f\prime(x)-a+5=f(x^2)-5x^2-a+5$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle g\prime\prime(x)=2x(f\prime(x^2)-5)\ge0

$\displaystyle g\prime\prime(x)=2xf\prime(x^2)-10x=2x(f\prime(x^2)-5)\ge0$ 이므로 $\displaystyle g\prime(x)$ 는 감소하지 않는 함수이다.

+20점

$\displaystyle g\prime(1)=f(1)-5-a+5=0$ 이므로 $\displaystyle x\ge1$ 에서 $\displaystyle g\prime(x)\ge0$ 이고 $\displaystyle 0\le x\le1$ 에서 $\displaystyle g\prime(x)\le0$ 이다.

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답이 맞으면

따라서 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=1$ 에서 최솟값 $\displaystyle g(1)=f(1)-h(1)=a-a=0$ 을 가진다.

$\displaystyle x$	$\displaystyle \cdots$	1	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle g\prime(x)$	$\displaystyle \le0$	0	$\displaystyle \ge0$
$\displaystyle g(x)$	$\displaystyle \searrow$		$\displaystyle \nearrow$

+30점 · 옳은 풀이과정이 있고

\displaystyle g(x)=0

을 구하면

(3-4) $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle 0\le x\le1$ 에서 증가하지 않는 함수이다. 따라서 $\displaystyle g(0)\ge g(x)\ge g(1)$ 가 성립한다. 그런데 $\displaystyle g(0)=0$ , $\displaystyle g(1)=0$ 이므로 $\displaystyle g(x)=0$ 이다.

+30점 · 옳은 풀이과정이 있고

\displaystyle a=10

을 구하면

따라서 $\displaystyle f(x)=(a-5)x+5$ 이다. (가)를 이용하면 $\displaystyle a-5=f\prime(0)=f(0)=5$ 이므로 $\displaystyle a=10$ 이다.

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