자연계열 B 3번

(3-1) $\displaystyle f\prime(1)=f(1)-5=a-5$이므로

$\displaystyle h(x)=(a-5)(x-1)+a=(a-5)x+5$이다.

(3-2) $\displaystyle u(x)=f(x)-5x$라 하면 $\displaystyle u\prime(x)=f\prime(x)-5\ge0$이므로 $\displaystyle x\ge0$이면 $\displaystyle u(x)\ge u(0)$이다.

따라서 $\displaystyle x\ge0$에서 $\displaystyle u(x)$의 최솟값은 $\displaystyle u(0)=f(0)-0=5$이다.

$\displaystyle g\prime\prime(x)=2xf\prime(x^2)-10x=2x(f\prime(x^2)-5)\ge0$이므로 $\displaystyle g\prime(x)$는 감소하지 않는 함수이다.

$\displaystyle g\prime(1)=f(1)-5-a+5=0$이므로 $\displaystyle x\ge1$에서 $\displaystyle g\prime(x)\ge0$이고 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle g\prime(x)\le0$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle g(1)=f(1)-h(1)=a-a=0$을 가진다.

(3-4) $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 증가하지 않는 함수이다. 따라서 $\displaystyle g(0)\ge g(x)\ge g(1)$가 성립한다. 그런데 $\displaystyle g(0)=0$, $\displaystyle g(1)=0$이므로 $\displaystyle g(x)=0$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=(a-5)x+5$이다. (가)를 이용하면 $\displaystyle a-5=f\prime(0)=f(0)=5$이므로 $\displaystyle a=10$이다.