수리논술, 이게 다다.

자연계열 B 1번

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세종대 2019학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeonb_1

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문제

[문제 1] 좌표평면에 중심이 P(0,1)\displaystyle \mathrm P(0,1)이고 반지름의 길이가 1인 원 C\displaystyle C가 있다. 원의 내부에 있고 제1사분면에 있는 점 Q(x1,y1)\displaystyle \mathrm Q(x_1,y_1)과 R(x2,y2)\displaystyle \mathrm R(x_2,y_2)에 대하여

두 점 P와 Q를 지나는 직선이 제1사분면에서 원 C\displaystyle C와 만나는 점을 Q1\displaystyle \mathrm Q_1이라 하고

두 점 P와 R를 지나는 직선이 제1사분면에서 원 C\displaystyle C와 만나는 점을 R1\displaystyle \mathrm R_1이라 하자.

점 Q,Q1,R,R1\displaystyle \mathrm Q,\mathrm Q_1,\mathrm R,\mathrm R_1은 다음 조건을 만족시킨다. (단, 0<y2<y1<1\displaystyle 0<y_2<y_1<1, 0<x1<12\displaystyle 0<x_1<\frac12)

(가) QQ1‾=x1\displaystyle \overline{\mathrm{QQ}_1}=x_1

(나) RR1‾=x2\displaystyle \overline{\mathrm{RR}_1}=x_2

(다) QR‾=x1+x2\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=x_1+x_2

(1-1) y1\displaystyle y_1을 x1\displaystyle x_1의 식으로 나타내시오. (60점)

(1-2) 극한 lim⁡x1→0+y2x2\displaystyle \lim_{x_1\to0+}\frac{y_2}{x_2}를 구하시오. (60점)

(1-3) 극한 lim⁡y1→0+y2y1\displaystyle \lim_{y_1\to0+}\frac{y_2}{y_1}를 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2019학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeonb_1

[문제 1]

30점

(1-1) x12+(1−y1)2=(1−x1)2\displaystyle x_1^2+(1-y_1)^2=(1-x_1)^2이다.

60점

따라서 y12−2y1=−2x1\displaystyle y_1^2-2y_1=-2x_1이고 y1<1\displaystyle y_1<1이므로 y1=1−1−2x1\displaystyle y_1=1-\sqrt{1-2x_1}이다.

10점 · y2=1−1−2x2\displaystyle y_2=1-\sqrt{1-2x_2}를 쓰면

(1-2) 위와 같은 방법으로 y2=1−1−2x2\displaystyle y_2=1-\sqrt{1-2x_2}를 얻을 수 있다.

y2<y1\displaystyle y_2<y_1이므로 0<x2<x1\displaystyle 0<x_2<x_1이고 lim⁡x1→0+x2=0\displaystyle \lim_{x_1\to0+}x_2=0이다. 따라서

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답이 맞으면

lim⁡x1→0+y2x2=lim⁡x2→0+1−1−2x2x2=lim⁡x2→0+(1−1−2x2)(1+1−2x2)x2(1+1−2x2)=lim⁡x2→0+2x2x2(1+1−2x2)=1\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x_1\to0+}\frac{y_2}{x_2}&=\lim_{x_2\to0+}\frac{1-\sqrt{1-2x_2}}{x_2}=\lim_{x_2\to0+}\frac{(1-\sqrt{1-2x_2})(1+\sqrt{1-2x_2})}{x_2(1+\sqrt{1-2x_2})}\\&=\lim_{x_2\to0+}\frac{2x_2}{x_2(1+\sqrt{1-2x_2})}=1\end{aligned}

15점 · 4x1x2=(y1−y2)2\displaystyle 4x_1x_2=(y_1-y_2)^2를 얻으면

(1-3) (x1−x2)2+(y1−y2)2=(x1+x2)2\displaystyle (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1+x_2)^2이므로 4x1x2=(y1−y2)2\displaystyle 4x_1x_2=(y_1-y_2)^2이다.

(−2x1)(−2x2)=(y1−y2)2\displaystyle (-2x_1)(-2x_2)=(y_1-y_2)^2 ==> (y12−2y1)(y22−2y2)=(y1−y2)2\displaystyle (y_1^2-2y_1)(y_2^2-2y_2)=(y_1-y_2)^2

30점 · (y12−2y1−1)y22−2(y12−3y1)y2−y12=0\displaystyle (y_1^2-2y_1-1)y_2^2-2(y_1^2-3y_1)y_2-y_1^2=0을 얻으면

이 식을 전개하여 정리하면 (y12−2y1−1)y22−2(y12−3y1)y2−y12=0\displaystyle (y_1^2-2y_1-1)y_2^2-2(y_1^2-3y_1)y_2-y_1^2=0이다.

이 이차식을 풀면y2=y12−3y1±(y12−3y1)2+(y12−2y1−1)y12y12−2y1−1=y12−3y1±y1(y1−2)2y12−2y1−1\displaystyle y_2=\frac{y_1^2-3y_1\pm\sqrt{(y_1^2-3y_1)^2+(y_1^2-2y_1-1)y_1^2}}{y_1^2-2y_1-1}=\frac{y_1^2-3y_1\pm y_1(y_1-2)\sqrt2}{y_1^2-2y_1-1}이므로

y2y1=y1−3±(y1−2)2y12−2y1−1\displaystyle \frac{y_2}{y_1}=\frac{y_1-3\pm(y_1-2)\sqrt2}{y_1^2-2y_1-1}이다. 0<y2<y1\displaystyle 0<y_2<y_1을 이용하면 ±2(2−y1)<−y12+3y1−2\displaystyle \pm\sqrt2(2-y_1)<-y_1^2+3y_1-2이다.

0<y1<1\displaystyle 0<y_1<1이므로 −y12+3y1−2<0\displaystyle -y_1^2+3y_1-2<0이 되어 +와 − 부호 중에서 − 부호를 택해야 한다.

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답이 맞으면

따라서 y2y1=y1−3−(y1−2)2y12−2y1−1\displaystyle \frac{y_2}{y_1}=\frac{y_1-3-(y_1-2)\sqrt2}{y_1^2-2y_1-1}이다. 그러므로 lim⁡y1→0+y2y1=3−22\displaystyle \lim_{y_1\to0+}\frac{y_2}{y_1}=3-2\sqrt2이다.

(1-2) 유리화 과정이 있고 답이 틀리면 (30점)

(1-3) 마지막 답을 3±22\displaystyle 3\pm2\sqrt2로 하거나 3+22\displaystyle 3+2\sqrt2를 쓰면 (45점)

(1-3) +− 부호를 결정하는 것에 대한 설명 없이 극한 3±22\displaystyle 3\pm2\sqrt2에서 3−22\displaystyle 3-2\sqrt2를 선택한 경우 (45점)

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