3번

모든 양수 `\displaystyle a`에 대하여, 중심의 좌표가 `\displaystyle \left(a,\,a^{2}\right)`이고 반지름의 길이가 `\displaystyle a`인 원 위의 점들로 이루어진 영역을 `\displaystyle S`라 하자. 영역 `\displaystyle S`에 있는 `\displaystyle x`좌표가 `\displaystyle t\ (t>0)`인 점 중에서 `\displaystyle y`좌표가 가장 작은 점을 지나는 원을 `\displaystyle (x-r)^{2}+\left(y-r^{2}\right)^{2}=r^{2}`이라 할 때, `\displaystyle t`와 `\displaystyle r` 사이의 관계식을 구하고 `\displaystyle t=\frac{1}{2}`에서 미분계수 `\displaystyle \frac{dr}{dt}`의 값을 구하여라.