자연계열 2번

[2.1] 이동거리는 선분의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}$이므로 시간 $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2+(b-x)^2}}v$이다.

[2.2] 시간 $\displaystyle f(x)$가 최소가 되는 조건을 찾으면 된다. $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1v\left(\frac{2x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{2(b-x)}{\sqrt{a^2+(b-x)^2}}\right)$Correction. 대학 예시답안 [2.2]의 도함수에서 두 분자의 $\displaystyle 2x$, $\displaystyle 2(b-x)$는 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle b-x$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.이다. 그런데 $\displaystyle f^{\prime}(0)<0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$일 때 $\displaystyle f(x)$는 최소이다. 따라서$\displaystyle \sin\theta_a=\frac x{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{b-x}{\sqrt{a^2+(b-x)^2}}=\sin\theta_b$즉, $\displaystyle \theta_a=\theta_b$이다.

[2.3] $\displaystyle n$번 반사될 때 $\displaystyle \tan\theta=\frac{\frac{10}2}{\frac{100}{2n}}=\frac n{10}$이다.16번 반사될 때 $\displaystyle \tan\theta=\frac{16}{10}=1.6$이므로 $\displaystyle \tan60^\circ=\sqrt3=1.732$보다 작다. 하지만 18번 반사될 때는 $\displaystyle \tan\theta=\frac{18}{10}=1.8$이므로 $\displaystyle 1.732$보다 크다. 따라서 최대 반사 횟수는 16번이다.

[2.4] 원래 빛 세기를 $\displaystyle I_0$라 하자.1번 반사되면 $\displaystyle I_0(1-0.04)=0.96I_0$, 2번 반사되면 $\displaystyle 0.96I_0(1-0.04)=0.96^2I_0$이고, $\displaystyle n$번 반사되면 $\displaystyle 0.96^nI_0$가 된다. 최대 반사가 16번이 가능하므로 나오는 빛 세기는 $\displaystyle 0.96^{16}I_0$이 된다.이를 $\displaystyle 0.5I_0$와 비교해 보면 된다.$\displaystyle 16\log(0.96)=16\log(\log3+5\log2-2)=16(0.477+5\times0.301-2)=-0.288$Correction. 중간식의 $\displaystyle 16\log(\log3+5\log2-2)$은 $\displaystyle 16(\log3+5\log2-2)$의 오기이다. 바로 다음 수치 대입에서는 바깥쪽 로그를 취하지 않고 올바르게 계산했다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고$\displaystyle \log(0.5)=-\log2=-0.301$즉, $\displaystyle 0.96^{16}>0.5$이 성립하므로, 원래 빛 세기의 반값보다 크다.