자연계열 3번

[3.1] 현재 두 사람이 만났을 때 다음 게임에서만날 확률은 $\displaystyle \left(\frac13\right)^2\times3=\frac13$, 만나지 못할 확률은 $\displaystyle 1-\frac13=\frac23$이다. 그리고 현재 두 사람이 만나지 못했을 때 다음 게임에서만날 확률은 $\displaystyle \left(\frac13\right)^2\times2=\frac29$, 만나지 못하는 확률은 $\displaystyle 1-\frac29=\frac79$이다.

[3.2] $\displaystyle n$번째 게임에서 처음으로 만날 확률은 $\displaystyle \left(\frac79\right)^{n-1}\times\frac29$이다.

[3.3] 세 번의 게임 동안 한 사람이 획득하는 마일리지를 확률 변수 $\displaystyle X$라고 하자. 세 번의 게임 동안 만나는 횟수는 $\displaystyle 0,1,2,3$이며 이에 따른 확률 변수 $\displaystyle X$의 값은 $\displaystyle 0,9,18,27$이다.(i) $\displaystyle P(X=0)=\left(\frac79\right)\left(\frac79\right)\left(\frac79\right)=\frac{343}{729}$(ii) $\displaystyle P(X=9)=\left(\frac29\right)\left(\frac23\right)\left(\frac79\right)+\left(\frac79\right)\left(\frac29\right)\left(\frac23\right)+\left(\frac79\right)\left(\frac79\right)\left(\frac29\right)=\frac{266}{729}$(iii) $\displaystyle P(X=18)=\left(\frac79\right)\left(\frac29\right)\left(\frac13\right)+\left(\frac29\right)\left(\frac23\right)\left(\frac29\right)+\left(\frac29\right)\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)=\frac{34}{243}$(iv) $\displaystyle P(X=27)=\left(\frac29\right)\left(\frac13\right)\left(\frac13\right)=\frac2{81}$이때 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[3.4] 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=9\times P(X=9)+18\times P(X=18)+27\times P(X=27)\\&=9\times\frac{266}{729}+18\times\frac{34}{243}+27\times\frac2{81}=\frac{524}{81}\end{aligned}$