자연계열 1번

[1.1] 측정을 시작할 때 갑은 $\displaystyle \frac{10}3\mathrm{km}$되는 지점에 있고 $\displaystyle \frac16$시간 후에 반환점에 도달하며 $\displaystyle \frac13$시간 후에는 반환점으로부터 $\displaystyle \frac43\mathrm{km}$되는 지점에 있다. 측정을 시작할 때 을은 출발점에 있고 $\displaystyle \frac13$시간 후에 반환점에 도달한다. 측정을 시작한지 $\displaystyle t$시간 후의 갑과 을의 출발지점으로부터의 거리를 각각 $\displaystyle A(t)$, $\displaystyle B(t)$라 하면, $\displaystyle A(t)=B(t)$되는 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle \frac13$ 사이에 존재함을 보이면 된다.$\displaystyle f(t)=A(t)-B(t)$라 하면, $\displaystyle f(t)$는 연속이고$\displaystyle f(0)=A(0)-B(0)=\frac{10}3>0$이고$\displaystyle f\left(\frac13\right)=A\left(\frac13\right)-B\left(\frac13\right)=\frac{11}3-5=-\frac43<0$이다. 사이값 정리(중간값 정리)에 의하여 $\displaystyle f(t)=A(t)-B(t)=0$되는 $\displaystyle t$가 존재한다. 즉 $\displaystyle A(t)=B(t)$되는 $\displaystyle t$가 존재한다.

[1.2] 출발점으로부터 $\displaystyle x\mathrm{km}$떨어진 지점에서 두 사람이 만난다고 하자. $\displaystyle \frac16$시간 후에 갑은 반환점에 있고 을은 출발점으로부터 $\displaystyle \frac52\mathrm{km}$지점에 있다. 이때부터 $\displaystyle t$시간 후 두 사람이 만난다고 하면$\displaystyle t=\frac{5-x}8,\quad t=\frac{x-5/2}{15}$이므로$\displaystyle \frac{5-x}8=\frac{x-5/2}{15}$이다. 이 방정식을 풀면 $\displaystyle 75-15x=8x-20$이므로 $\displaystyle x=\frac{95}{23}\mathrm{km}$이다.

[1.3] $\displaystyle g(t)=v_1(t)-v_2(t)$라 하자. 두 사람의 속도가 같은 시각을 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$라 하면 $\displaystyle g(t_1)-g(t_2)=0$이다. 평균값 정리에 의하여$\displaystyle 0=\frac{g(t_1)-g(t_2)}{t_1-t_2}=g^{\prime}(c)$가 되는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$ 사이에 존재한다. 그런데 $\displaystyle g^{\prime}(c)=v_1^{\prime}(c)-v_2^{\prime}(c)=a_1(c)-a_2(c)$이므로$\displaystyle a_1(c)=a_2(c)$이다.