자연계열 1-2번

[1.2] 이 급수가 수렴하기 위한 조건은 $\displaystyle -1<\frac{4x}{x^2+3}<1$이므로$\displaystyle x^2+3>4x\text{이고 }-(x^2+3)<4x$이면 된다. 즉$\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\text{이고 }x^2+4x+3=(x+1)(x+3)>0$이어야 하므로 $\displaystyle x<1,x>3$이고 $\displaystyle x<-3,x>-1$이어야 한다. 공통되는 범위를 구하면$\displaystyle x<-3,\quad-1<x<1,\quad x>3$이다. 이때 급수의 합은$\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4x}{x^2+3}\right)^n=\frac1{1-\frac{4x}{x^2+3}}=\frac{x^2+3}{x^2-4x+3}$이다.