자연계열 1-2번

[1.2] 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$이 수렴하므로 수열 $\displaystyle a_n$의 공비 $\displaystyle r$은 $\displaystyle -1<r<1$을 만족한다. 따라서 등비수열 $\displaystyle a_n$의 극한은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이다. 수열 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$이 모두 수렴하므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=2a_1$이 성립한다. 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{a_1}{1-r}=2a_1$로부터 $\displaystyle r=\frac12$을 얻는다.