자연계열 1-3번

[1.3] $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle z=h(x)=g(y)$라 놓으면$\displaystyle h^{\prime}(x)=g^{\prime}(y)y^{\prime}=\frac d{dy}[\ln y-\ln(1-y)]\times\frac{dy}{dx}$이다. 여기서$\displaystyle \frac d{dy}[\ln y-\ln(1-y)]=\frac{y^{\prime}}y+\frac{y^{\prime}}{1-y}=\frac{y^{\prime}}{y(1-y)}$Caution. 도함수에 값을 대입하는 것과 합성함수를 미분하는 것을 구별해야 한다: 이 문제에서 $\displaystyle y=f(x)$이므로 $\displaystyle \frac d{dy}[\ln y-\ln(1-y)]=\frac1{y(1-y)}$이고, $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{y^{\prime}}{y(1-y)}$이다. 원문의 오른쪽 식을 $\displaystyle g^{\prime}(y)$로 사용한 뒤 $\displaystyle y^{\prime}$를 다시 곱하면 합성함수의 안쪽 함수 도함수를 두 번 곱하게 된다. 미분 변수에 맞게 고치면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1$이며 대학의 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$이다. 한편$\displaystyle y(1-y)=\frac1{1-e^{-x}}\times\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$Correction. 예시답안 [1.3]에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$와 $\displaystyle y(1-y)$를 계산한 식에 쓰인 $\displaystyle 1-e^{-x}$는 모두 $\displaystyle 1+e^{-x}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1$이다.