자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle y=\frac12x^2+\frac12$일 때 $\displaystyle y^{\prime}=x$이다. 직선 $\displaystyle l_1$은 점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(a,\frac12a^2+\frac12\right)$에서 곡선에 접하므로 접선의 기울기가 $\displaystyle a$가 되어 $\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=ax-\frac12a^2+\frac12$이다. 비슷하게 직선 $\displaystyle l_2$와 곡선의 접점을 $\displaystyle \left(b,\frac12b^2+\frac12\right)$이라 하면 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=bx-\frac12b^2+\frac12$이다. $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$가 수직이므로 $\displaystyle ab=-1$ 즉, $\displaystyle b=-\frac1a$이다. 따라서 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1ax-\frac1{2a^2}+\frac12$이다.

[2.2] $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$의 교점 P의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle 0$임을 보이면 된다. $\displaystyle l_2$의 방정식 $\displaystyle y=-\frac1ax-\frac1{2a^2}+\frac12$의 양변에 $\displaystyle a^2$을 곱하여 $\displaystyle a^2y=-ax-\frac12+\frac12a^2$을 얻고, 이 식과 $\displaystyle l_1$의 방정식 $\displaystyle y=ax-\frac12a^2+\frac12$을 더하면 $\displaystyle (a^2+1)y=0$ 즉, $\displaystyle y=0$이다. 따라서 P의 $\displaystyle y$좌표는 항상 $\displaystyle 0$이므로 P는 $\displaystyle x$축 위의 점이다.

[2.3] 수선의 발 H의 좌표는 $\displaystyle (a,0)$이다. 직선 $\displaystyle l_3$는 기울기가 $\displaystyle -\frac1a$이고 H를 지나므로 $\displaystyle l_3$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1ax+1$이다.

[2.4] 수선의 발 $\displaystyle \mathrm{H}^{\prime}$의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac1a,0\right)$이다. 직선 $\displaystyle l_4$는 기울기가 $\displaystyle a$이므로 $\displaystyle l_4$의 방정식은 $\displaystyle y=ax+1$이다. 이 식과 $\displaystyle l_3$의 방정식을 연립하면 교점 Q의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$이다.