자연계열 1-2번

서울과학기술대 2025학년도 수시 오후 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2025su_pm/jayeon_1_2

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.2] 1보다 큰 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 두 직선 $\displaystyle y=x$ 와 $\displaystyle y=\frac xn$ 가 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \theta_n$ 이라고 할 때, $\displaystyle \tan\theta_2\times\tan\theta_3\times\cdots\times\tan\theta_{20}$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2025학년도 수시 오후 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2025su_pm/jayeon_1_2

+6점 · 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여

\displaystyle \tan\theta_n=\frac{n-1}{n+1}

임을 보인다.

[1.2]직선 $\displaystyle y=\frac xn$ 과 $\displaystyle x$ 축이 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \alpha_n$ 이라고 하면 $\displaystyle \tan\theta_n=\tan\left(\frac\pi4-\alpha_n\right)=\frac{\tan\frac\pi4-\tan\alpha_n}{1+\tan\frac\pi4\tan\alpha_n}=\frac{1-\frac1n}{1+\frac1n}=\frac{n-1}{n+1}$

+6점 ·

\displaystyle \tan\theta_2\times\tan\theta_3\times\cdots\times\tan\theta_{20}=\frac13\times\frac24\times\frac35\times\cdots\times\frac{19}{21}=\frac1{210}

임을 보인다.

이다. 따라서 $\displaystyle \tan\theta_2\times\tan\theta_3\times\cdots\times\tan\theta_{20}=\frac13\times\frac24\times\frac35\times\cdots\times\frac{19}{21}=\frac1{210}$ 이다.

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