자연계열 3번

[3.1]함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이고

이므로 사잇값정리에 의하여 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

[3.2]문항 [3.1]에서 $\displaystyle f(x)=0$은 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 실근을 가짐을 알았다.$\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac1{x+3}>0,\quad0<x<1$이므로 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 증가함수이다. 따라서 실근은 오직 하나이다.

[3.3] 문항 [3.2]에서 구한 실근을 $\displaystyle \alpha$라고 하면, 평균값 정리에 의하여$\displaystyle g(t)-\alpha=g(t)-g(\alpha)=g^{\prime}(c)(t-\alpha)$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (\alpha,t)$에 적어도 하나 존재하는데

$\displaystyle 0<g^{\prime}(c)=\frac1{c+3}<\frac13\qquad(0<\alpha<c<t)$

이다. 특히 $\displaystyle c<t<1$이면 $\displaystyle \frac1{c+3}>\frac14$이므로 $\displaystyle 0<g(t)-\alpha<\frac1p(t-\alpha)$가 항상 성립하도록 하는 가장 큰 자연수 $\displaystyle p$의 값은 $\displaystyle 3$이다. (참고로, 구간 $\displaystyle (-3,-2)$에 있는 실근을 택하면 $\displaystyle t<-2$일 경우에는 $\displaystyle g^{\prime}(c)>g^{\prime}(-2)=1$이므로 문제의 조건을 만족하지 않는다.)

[3.4]문항 [3.3]에 의하여$\displaystyle 0<a_n-\alpha=g(a_{n-1})-\alpha<\frac13(a_{n-1}-\alpha)<\cdots<\left(\frac13\right)^{n-1}(a_1-\alpha)=\left(\frac13\right)^{n-1}(1-\alpha)$이므로 $\displaystyle M=\left(\frac13\right)^{n-1}$이다.Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: 대학 답안에서 정한 $\displaystyle M=(1/3)^{n-1}$에 $\displaystyle n=1$을 대입하면 $\displaystyle a_1-\alpha=M(1-\alpha)=1-\alpha$로 양변이 같아져 주어진 부등식이 성립하지 않는다. 예를 들어 $\displaystyle M=2(1/3)^{n-1}$로 두면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 조건을 만족시키고, 수열의 극한은 그대로 $\displaystyle \alpha$이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

수열의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-\alpha)=0$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$이다.