수리논술, 이게 다다.

자연계열 1-3번

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서울과학기술대 2027학년도 모의논술 자연계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2027mo/jayeon_1_3

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[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.3] 상수 a\displaystyle a(0<a<5\displaystyle 0<a<5)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 속도가v(t)=−a(5−a)2t2+a\displaystyle v(t)=-\frac{a}{(5-a)^2}t^2+a이다. 시각 t=0\displaystyle t=0에서 t=10−2a\displaystyle t=10-2a까지 점 P가 움직인 거리를 최대로 하는 a\displaystyle a의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2027학년도 모의논술 자연계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2027mo/jayeon_1_3

[1.3] 점 P가 방향을 바꾸는 때는 v(t)=−a(5−a)2t2+a=0\displaystyle v(t)=-\frac{a}{(5-a)^2}t^2+a=0, t2=(5−a)2\displaystyle t^2=(5-a)^2 즉, t=5−a\displaystyle t=5-a이다. 점 P가 이동한 거리는 다음과 같다.S=∫05−a{−a(5−a)2t2+a}dt−∫5−a10−2a{−a(5−a)2t2+a}dt=2a(5−a)=−2(a−52)2+252\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{5-a}\left\{-\frac{a}{(5-a)^2}t^2+a\right\}dt-\int_{5-a}^{10-2a}\left\{-\frac{a}{(5-a)^2}t^2+a\right\}dt\\&=2a(5-a)=-2\left(a-\frac52\right)^2+\frac{25}2\end{aligned}따라서 a=52\displaystyle a=\frac52이다.

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