자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle n$개의 인수 중에서 $\displaystyle (n-1)$개를 택하여 $\displaystyle x$끼리 곱하고 나머지 인수에서 상수항을 곱했을 때 $\displaystyle x^{n-1}$의 항이 생기므로$\displaystyle a_n=1+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$이다. 부분적분하면$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=\int_0^{(2n+1)^2\pi}x\cos\frac{x}{2n+1}\,dx\\&=\Biggl[(2n+1)x\sin\frac{x}{2n+1}+(2n+1)^2\cos\frac{x}{2n+1}\Biggr]_0^{(2n+1)^2\pi}\\&=(2n+1)^2\{\cos(2n+1)\pi-1\}\\&=-2(2n+1)^2\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{nb_n}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{-2n(2n+1)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}6}=\lim_{n\to\infty}\frac{-12(2n+1)}{n+1}=-24$이다.