자연계열 II 2-i번

속력 $\displaystyle u_0,u_1$ 그리고 $\displaystyle u_2$ 사이의 관계식을 구하기 위해 먼저 식 (2)와 식(3)을 연립하면,

$\displaystyle \frac12\rho Au_1(u_0^2-u_2^2)=\rho Au_1^2(u_0-u_2)$

따라서 속력 사이의 관계식은 $\displaystyle u_1=\frac12(u_0+u_2)$ 또는 $\displaystyle u_2=2u_1-u_0$

최대효율은 발전기 일률 $\displaystyle P$이 최대값이 될 때이다. 먼저 위의 식을 식(3)에 대입하면

$\displaystyle P=2\rho Au_1^2(u_0-u_1)=2\rho A(u_0u_1^2-u_1^3)$

(식(3)에 대입하여 계산하는 것이 간단하나 식(2)을 이용해도 되며 답은 같다). 효율의 정의에 따라 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle c=\frac P{P_0}=\frac{2\rho A(u_0u_1^2-u_1^3)}{\frac12\rho Au_0^3}=4\left[\left(\frac{u_1}{u_0}\right)^2-\left(\frac{u_1}{u_0}\right)^3\right]$

여기에서 $\displaystyle x=\frac{u_1}{u_0}$ 놓으면 위의 식은 $\displaystyle c=4(x^2-x^3)$으로 표현된다. 이 때 $\displaystyle x$는 0과 1사이의 값이다.

이 식을 미분하면 $\displaystyle c^{\prime}=4(2x-3x^2)=4x(2-3x)$이므로 $\displaystyle x=\frac23$일 때 $\displaystyle c$가 최대이다.

즉, $\displaystyle \frac{u_1}{u_o}=\frac23$일 때 효율이 최대가 되며 이때의 효율의 최댓값은 $\displaystyle c=\frac{16}{27}$이다.