자연계 1교시 수학2

[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학2 - ⅰ] ~ [수학2 - ⅱ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>첫째항이 $\displaystyle a$, 공비가 $\displaystyle r$인 등비수열의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합 $\displaystyle S_n$은 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\begin{cases}\frac{a(r^n-1)}{r-1}&(r\ne1\text{일 때})\\na&(r=1\text{일 때})\end{cases}$

<제시문2>자연수 $\displaystyle n$에 대하여 아래 그림과 같은 도로망이 있다.

단, 이 도로망 위를 이동할 때 한 번 지나간 지점은 다시 지날 수 없다. 예를 들어, $\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle \mathrm{A}_1$ 지점으로부터 $\displaystyle \mathrm{B}_2$ 지점까지 가는 방법은 다음과 같이 $\displaystyle 3$가지이다.

여기서, 이동 거리는 최단 거리일 필요는 없으며, 출발 지점은 한 번 지나간 지점으로 간주한다.

[수학2 - ⅰ] <제시문2>의 도로망에서 $\displaystyle n=100$일 때, $\displaystyle \mathrm{A}_0$ 지점으로부터 $\displaystyle \mathrm{B}_{100}$ 지점까지 가는 방법은 몇 가지인지 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학2 - ⅱ] <제시문2>의 도로망에서 $\displaystyle n=100$일 때, 도로망 위쪽의 $\displaystyle \mathrm{A}_0,\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\cdots,\mathrm{A}_{100}$ 각각의 지점에서 출발하여 $\displaystyle \mathrm{B}_{100}$ 지점까지 가는 방법의 수의 총합을 구하고, 그 이유를 논하시오. 예를 들어, $\displaystyle n=2$일 때 $\displaystyle \mathrm{A}_0,\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2$ 지점 중 하나에서 출발하여 $\displaystyle \mathrm{B}_2$ 지점까지 가는 방법의 수의 총합은 $\displaystyle 10$가지이다.