자연계 1교시 수학2

[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학2-ⅰ] ~ [수학2-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

답은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_r$, $\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_r$, $\displaystyle n!$, $\displaystyle 2^n$ 등을 사용하지 않는 자연수 표기법으로 적으시오. 예: 답이 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_2+3$이면 $\displaystyle 13$으로 적는다.

[수학2-ⅰ] 두 집합 $\displaystyle X=\{x|x\text{는 }10\text{ 이하의 자연수}\}$, $\displaystyle Y=\{y|y\text{는 }8\text{ 이하의 자연수}\}$에 대해 다음 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f:X\to Y$의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.조건: 정수 $\displaystyle 1\le i\le9$에 대해 $\displaystyle f(i)\le f(i+1)\le f(i)+1$이 성립하고 $\displaystyle f(1)=1$이다.

[수학2-ⅱ] 두 집합 $\displaystyle X=\{x|x\text{는 }6\text{ 이하의 자연수}\}$, $\displaystyle Y=\{y|y\text{는 }21\text{ 이하의 자연수}\}$에 대해 다음 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f:X\to Y$의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.조건: $\displaystyle \{f(i+1)-f(i)|i\text{는 }1\le i\le5\text{인 정수}\}\subset\{1,2,3,5,7\}$이 성립하고 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(6)=21$이다.

[수학2-ⅲ] 두 집합 $\displaystyle X=\{x|x\text{는 }9\text{ 이하의 자연수}\}$, $\displaystyle Y=\{y|y\text{는 }27\text{ 이하의 자연수}\}$에 대해 다음 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f:X\to Y$의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.조건: 정수 $\displaystyle 1\le i\le8$에 대해 $\displaystyle 0\le f(i+1)-f(i)\le4$이 성립하고 정수 $\displaystyle 2\le j\le8$에 대해 $\displaystyle f(j)\ge\frac{f(j-1)+f(j+1)}2$이 성립하며 $\displaystyle f(1)=1$이다.

[수학2-ⅳ] 두 집합 $\displaystyle X=\{x|x\text{는 }5\text{ 이하의 자연수}\}$, $\displaystyle Y=\{y|y\text{는 }13\text{ 이하의 자연수}\}$에 대해 다음 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f:X\to Y$의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.조건: 정수 $\displaystyle 1\le i\le4$에 대해 $\displaystyle f(i)\le f(i+1)\le f(i)+7$이 성립한다.