자연계열 2번

미분 가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 있을 때, 곱의 미분법에 의하면 $\displaystyle f(x)g(x)$의 도함수는 다음과 같이 구해진다.$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right]=f(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g(x)$

부정적분의 기호를 사용해서 위 식을 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \int\left[f(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g(x)\right]dx=f(x)g(x)$또는$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx+\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)$

위 식을 정리하면 아래의 식을 얻는다.$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

이 식을 사용하는 적분법을 부분적분법이라 부른다. 또한 위 식에서 $\displaystyle u=f(x)$ 그리고 $\displaystyle v=g(x)$라 놓으면 $\displaystyle du=f^{\prime}(x)\,dx$이고 $\displaystyle dv=g^{\prime}(x)\,dx$이므로, 다음의 간편한 식을 얻게 된다.$\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$

부분적분법은 많은 경우 피적분함수가 두 함수의 곱으로 이루어진 경우에 적용할 수 있다. 하지만 일반적인 곱의 적분법은 존재하지 않기 때문에 부분적분법을 사용하여 부정적분을 구할 수 있는 경우는 한정되어 있다. $\displaystyle \int x\sin x\,dx$를 예로 살펴보자. $\displaystyle f(x)=x$ 그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\sin x$로 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$, $\displaystyle g(x)=-\cos x$이므로 부분적분법에 의하여 아래의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \int x\sin x\,dx=x(-\cos x)-\int(-\cos x)\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$

한편 $\displaystyle f(x)=\sin x$ 그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=x$로 놓고 부분적분법을 사용하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\cos x$이고 $\displaystyle g(x)=x^{2}/2$이므로$\displaystyle \int x\sin x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\int x^{2}\cos x\,dx$를 얻게 되고, 이 식은 부정적분 $\displaystyle \int x\sin x\,dx$을 구하는데 전혀 도움이 되지 않는다. 따라서 부분적분법을 사용해서 부정적분을 구할 수 있는 경우라 하더라도 어느 것을 $\displaystyle f(x)$, 어느 것을 $\displaystyle g^{\prime}(x)$로 놓아야 할 것인가를 올바로 판단해야 한다. 일반적으로 피적분함수가 $\displaystyle x^{n}$과 $\displaystyle \sin x$(또는 $\displaystyle \cos x$, 또는 $\displaystyle e^{x}$)의 곱일 때에는 $\displaystyle f(x)=x^{n}$ 그리고 $\displaystyle g(x)=\sin x$(또는 $\displaystyle g(x)=\cos x$ 또는 $\displaystyle g(x)=e^{x}$)라 놓고 부분적분법을 반복 사용한다.Correction. 부분적분 공식의 피적분함수는 $\displaystyle f(x)g^{\prime}(x)$이므로, 여기의 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g^{\prime}(x)$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이제 부정적분 $\displaystyle \int x\sin\left(x^{2}\right)dx$을 살펴보자. 피적분함수 $\displaystyle x\sin\left(x^{2}\right)$은 $\displaystyle x$와 $\displaystyle \sin\left(x^{2}\right)$의 곱으로 표시되어 있지만 부분적분법으로는 $\displaystyle \int x\sin\left(x^{2}\right)dx$을 구할 수 없다. 반면에 $\displaystyle u=x^{2}$으로 치환하면 $\displaystyle du=2x\,dx$ 즉 $\displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}du$가 되므로$\displaystyle \int x\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{1}{2}\int\sin u\,du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos\left(x^{2}\right)+C$를 얻을 수 있다. 부분적분법을 정적분에 적용하면 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)dx$