논술 사인·코사인의 거듭제곱의 정적분(월리스 공식)

＊사인·코사인의 거듭제곱의 정적분

0 이상의 정수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$라 하자. $\displaystyle t=\frac\pi2-x$로 치환하면$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n t\,dt=I_n$이므로 사인과 코사인의 경우를 따로 계산할 필요가 없다.

＊점화식

＊홀수와 짝수

점화식을 적용할 때마다 지수가 2씩 줄어드므로, 짝수 지수는 $\displaystyle I_0$에서 끝나고 홀수 지수는 $\displaystyle I_1$에서 끝난다. 양의 정수 $\displaystyle m$에 대하여$\displaystyle I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2$$\displaystyle I_{2m+1}=\frac{2m}{2m+1}\cdot\frac{2m-2}{2m-1}\cdots\frac23$이다.

＊팩토리얼과 조합으로 나타내기

짝수들의 곱은 각 항에서 2를 꺼내면$\displaystyle 2\cdot4\cdots(2m)=2^m m!$이고, 홀수들의 곱은 전체 곱에서 짝수들의 곱을 나누면$\displaystyle 1\cdot3\cdots(2m-1)=\frac{(2m)!}{2^m m!}$이다.

따라서 짝수 지수일 때에는$\displaystyle I_{2m}=\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{{}_{2m}\mathrm{C}_{m}}{4^m}\cdot\frac{\pi}{2}$이고, 홀수 지수일 때에는$\displaystyle I_{2m+1}=\frac{2^{2m}(m!)^2}{(2m+1)!}=\frac{4^m}{(2m+1)\,{}_{2m}\mathrm{C}_{m}}$이다. 이 두 식은 $\displaystyle m=0$일 때에도 각각 $\displaystyle I_0=\frac\pi2$, $\displaystyle I_1=1$을 준다.