자연계열 1번

실수와 유리수를 구분 짓는 핵심은 적합한 극한 이론 구성의 가능성과 관련된 공리이다. 유리수는 수학을 위해 필요한 산술적 성질과 그밖의 많은 중요한 성질들을 갖고 있지만, 유리수만으로는 수렴하는 수열의 극한값을 표현할 수 없기 때문에 체계적인 극한 이론을 위해서는 적당하지 않다. 예를 들면 $\displaystyle \sqrt2$를 소수 $\displaystyle n$째 자리까지 나타낸 항들로 이루어진 유리수의 수열 $\displaystyle 1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots$는 명백히 $\displaystyle \sqrt2$로 수렴하는데, 우리가 이미 알고 있듯이 해당 수열의 극한값 $\displaystyle \sqrt2$는 유리수가 아니다. 이와 같은 이유로, 극한 이론에서 출발한 미적분학이 수학적 체계를 갖추기 위해서는 완비성을 갖춘 실수의 구성이 필요하였다. 프랑스의 수학자 코시(Cauchy)는 유리수에서 출발하여 유리수 수직선에 새로운 점들을 추가하는 방식으로 실수의 집합을 구성했고, 이와는 다른 방식으로 완비성을 갖춘 실수의 집합을 구성하는 방법은 이후에 독일 수학자 데데킨트(Dedekind)에 의하여 개발되었다.

실수의 완비성을 공리로 구성하는 방법은 여러 가지가 있으며, 그 방법들은 각각 서로 동치이다. 그 중 하나는 위로 유계인 단조증가 수열이 반드시 실수값의 극한을 갖는다고 가정하는 것이다. 이를 수학적으로 표현하자면 무한수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 어떤 양수 $\displaystyle M$이 있어, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le a_{n+1}$이고 $\displaystyle a_n<M$이면, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 적당한 실수 $\displaystyle \alpha$에 수렴한다; 즉 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$이다. 위에서 언급한 실수의 성질을 수학자들이 공리로 받아들임으로써 순환하지 않는 무한소수까지도 모두 실수에 속하게 된다.

단조증가 수열의 대표적인 예는 음이 아닌 항들로 구성된 급수의 부분합 수열이다. 무한수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 각 항을 모두 더한 식을 무한급수 또는 간단히 급수라 하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$로 나타낸다. 이 급수에서 첫째항부터 $\displaystyle n$항까지의 합 $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$를 급수의 제 $\displaystyle n$ 부분합 또는 간단히 부분합이라 부른다.

이렇게 정의된 부분합의 수열 $\displaystyle \{s_n\}$이 $\displaystyle s$에 수렴할 때, 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$는 $\displaystyle s$에 수렴한다고 정의하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k=s$라 표기한다. 이러한 정의에 따르면 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$가 수렴하는 경우 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이다.① 또한 두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$이 각각 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$에 수렴할 때, 임의의 실수 $\displaystyle p,q$에 대해 수열 $\displaystyle \{pa_n+qb_n\}$은 $\displaystyle p\alpha+q\beta$에 수렴한다는 것으로부터, 두 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$, $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_k$가 각각 $\displaystyle s$와 $\displaystyle t$에 수렴하는 경우 임의의 실수 $\displaystyle p,q$에 대하여, 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty(pa_k+qb_k)$는 $\displaystyle ps+qt$에 수렴함을 알 수 있다.

위에서 언급한 실수의 완비성을 무한급수에 적용하면, 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0\le b_n\le c_n$이고 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty c_k$가 수렴하는 경우, 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_k$도 수렴하게 된다.② 마찬가지로 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 각 항이 음수가 아닐 때, 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k\le a_n$을 만족하고 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하면, 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_k$도 적당한 실수에 수렴한다. 이에 대한 구체적인 예를 들자면 $\displaystyle a_n=\int_2^n\frac1{x(\ln x)^2}dx$을 이용해서 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty\frac1{k(\ln k)^2}$이 수렴함을 보일 수 있다.③ 이는 해당 급수가 수렴하게 되는 극한값을 구체적으로 찾지 않고서도 실수의 완비성으로부터 급수가 어떤 실수값에 수렴함을 알 수 있다는 것을 의미한다.