자연계열 II 2번

(1) $\displaystyle y=\frac{|2x|}{x^2+1}$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle p(x)=\frac{|2x|}{x^2+1}$은 $\displaystyle x=1$과 $\displaystyle x=-1$에서 최댓값 1을 가지고, $\displaystyle x\to\infty$ 혹은 $\displaystyle x\to-\infty$일 때 0으로 수렴한다.따라서 함수 $\displaystyle f(k)$와 그래프는 각각 다음과 같다.$\displaystyle f(k)=\begin{cases}0&k<0\\1&k=0\\4&0<k<1\\2&k=1\\0&k>1\end{cases}$

(2) 함수 $\displaystyle g(x)$가 조건 (iii)을 만족시키면, 즉 함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 모든 실수에서 연속이면 $\displaystyle x=0$에서도 연속이다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to0^+}(g\circ f)(x)=\lim_{x\to0^-}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(0),$$\displaystyle \lim_{x\to0^+}(g\circ f)(x)=g(4)$, $\displaystyle \lim_{x\to0^-}(g\circ f)(x)=g(0)$, $\displaystyle (g\circ f)(0)=g(1)$이므로$\displaystyle g(0)=g(1)=g(4)$마찬가지로 함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to1^+}(g\circ f)(x)=\lim_{x\to1^-}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(1),$$\displaystyle \lim_{x\to1^+}(g\circ f)(x)=g(0),\quad\lim_{x\to1^-}(g\circ f)(x)=g(4),\quad(g\circ f)(1)=g(2)$이로부터 $\displaystyle g(0)=g(2)=g(4)$를 얻을 수 있고, $\displaystyle g(0)=g(1)=g(2)=g(4)$이다. 조건 (i)과 (iii)을 만족시키는 함수 $\displaystyle g(x)$는 실수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)+a$함수 $\displaystyle g(x)$가 조건 (iv)를 만족시킨다면, 즉 함수 $\displaystyle (f\circ g\circ h)(x)$가 모든 실수에서 연속이면 $\displaystyle n$이 정수일 때 $\displaystyle x=n$에서도 연속이다.$\displaystyle \lim_{x\to n^-}(f\circ g\circ h)(x)=f(g(n-1)),\quad\lim_{x\to n^+}(f\circ g\circ h)(x)=f(g(n))$그러므로 $\displaystyle f(g(n-1))=f(g(n))$, 즉 $\displaystyle f(g(n))$의 값이 모든 정수 $\displaystyle n$에 대하여 같다.함수 $\displaystyle g(x)$가 조건 (i)을 만족시키는 함수라면 $\displaystyle g(m)>1$인 정수 $\displaystyle m$이 항상 존재하고 이때 $\displaystyle f(g(m))=0$이다. 함수 $\displaystyle g(x)$가 조건 (ii)를 만족시키고 $\displaystyle g(m^{\prime})\le1$인 정수 $\displaystyle m^{\prime}$이 존재하는 함수이면 $\displaystyle 0\le g(m^{\prime})\le1$이기 때문에 $\displaystyle f(g(m^{\prime}))=1,2$ 혹은 4가 되고, $\displaystyle f(g(m))\ne f(g(m^{\prime}))$이 된다. 이때 $\displaystyle (f\circ g\circ h)(x)=0$이다.그러므로 조건 (i), (ii), (iii), (iv)를 만족시키는 함수 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)+a,\quad n\text{이 정수일 때 }g(n)>1$함수 $\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)+a$의 그래프의 개형으로부터 함수 $\displaystyle g(x)$의 정수에서의 함숫값 중 가장 작은 값은 $\displaystyle g(3)$임을 알 수 있다. 따라서 모든 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g(n)>1$인 것은 $\displaystyle g(3)>1$과 동치이다.$\displaystyle g(3)=3\cdot2\cdot1\cdot(-1)+a=a-6>1,\quad a=g(0)>7$그러므로 실수 $\displaystyle c$가 문제의 조건을 만족시키는 모든 함수 $\displaystyle g(x)$에 대하여 $\displaystyle g(0)>c$를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle c\le7$이어야 하고, 구하는 실수 $\displaystyle c$의 값은 7이다.