자연계열 II 1번

직선 $\displaystyle \ell:x+2my=0$과 $\displaystyle \ell^{\prime}:2mx-y-2m=0$은 $\displaystyle m$과 관계없이 각각 점 $\displaystyle (0,0)$과 점 $\displaystyle (1,0)$을 지나는 직선이다. $\displaystyle m\ne0$인 경우 직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 기울기는 각각 $\displaystyle -\frac1{2m}$과 $\displaystyle 2m$이므로 두 직선은 항상 수직으로 만난다. $\displaystyle m=0$인 경우 직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle \ell^{\prime}$은 각각 $\displaystyle y$축, $\displaystyle x$축이므로 역시 수직으로 만난다. 따라서 실수 $\displaystyle m$에 대하여 두 직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 교점 $\displaystyle \mathrm P_m$은 점 $\displaystyle (0,0)$과 점 $\displaystyle (1,0)$을 이은 선분을 지름으로 하는 원 위에 있게 된다.서로 다른 세 실수 $\displaystyle m_1$, $\displaystyle m_2$, $\displaystyle m_3$으로부터 얻어진 세 점 $\displaystyle \mathrm P_{m_1}$, $\displaystyle \mathrm P_{m_2}$, $\displaystyle \mathrm P_{m_3}$을 각각 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm C$로 나타내자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 외접원은 점 $\displaystyle (0,0)$과 점 $\displaystyle (1,0)$을 이은 선분을 지름으로 하는 원이므로 사인법칙을 이용하면$\displaystyle \frac a{\sin A}=2R=1$$\displaystyle A=\frac\pi6$이면 $\displaystyle a=\sin A=\frac12$이다. 그러므로 조건을 만족시키는 삼각형은 반지름 $\displaystyle \frac12$인 원에 내접하고 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이 $\displaystyle a$가 $\displaystyle \frac12$인 삼각형이다. 이러한 삼각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$로부터 거리가 최대가 되는 원 위의 점이 삼각형의 나머지 한 점 $\displaystyle \mathrm A$가 되어야 하고, 이때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다. 밑변 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이가 $\displaystyle \frac12$이고 각 $\displaystyle A$가 $\displaystyle \frac\pi6$인 이등변삼각형의 높이는 $\displaystyle \frac{\tan\frac{5\pi}{12}}4$이다.삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \tan\frac{5\pi}{12}=\tan\left(\frac\pi6+\frac\pi4\right)=\frac{\tan\frac\pi6+\tan\frac\pi4}{1-\tan\frac\pi6\tan\frac\pi4}=2+\sqrt3$따라서 조건을 만족시키는 삼각형의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{2+\sqrt3}{16}$이다.