자연계열 II 3번

기름의 부피를 $\displaystyle V$라고 하면$\displaystyle V=\int_8^{12}\pi(\sqrt{x-7})^2\,dx=\int_8^{12}\pi(x-7)\,dx=\pi\Biggl[\frac12x^2-7x\Biggr]_8^{12}=12\pi$1) 기름층의 윗면의 높이가 8보다 크거나 같다고 하자. $\displaystyle 0\le a\le4$일 때 기름층의 윗면의 높이를 $\displaystyle 8+a$, 아랫면의 높이를 $\displaystyle 8-b$ ($\displaystyle b\ge0$) 라고 하면$\displaystyle 12\pi=\int_8^{8+a}\pi(\sqrt{x-7})^2\,dx+\int_{8-b}^8\pi\left(\sqrt{\frac{8-x}2+1}\right)^2\,dx$$\displaystyle x-8=t$로 치환하여 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}12\pi&=\int_0^a\pi(\sqrt{t+1})^2\,dt+\int_{-b}^0\pi\left(\sqrt{-\frac t2+1}\right)^2\,dt\\&=\pi\Biggl[\frac{t^2}2+t\Biggr]_0^a+\pi\Biggl[-\frac{t^2}4+t\Biggr]_{-b}^0\\&=\pi\left(\frac{a^2}2+a+\frac{b^2}4+b\right)\end{aligned}$$\displaystyle b^2+4b+2a^2+4a-48=0$이고, $\displaystyle b=-2\pm\sqrt{-2a^2-4a+52}$인데 $\displaystyle 0\le a\le4$일 때 $\displaystyle -2a^2-4a+52\ge4$이므로 $\displaystyle b=-2+\sqrt{-2a^2-4a+52}$일 때 $\displaystyle b\ge0$이 된다. 따라서$\displaystyle b=-2+\sqrt{-2a^2-4a+52}$그러므로 기름층의 윗면의 높이가 $\displaystyle 8+a$ ($\displaystyle a\ge0$)일 때 기름층의 두께는$\displaystyle a+b=a-2+\sqrt{-2a^2-4a+52}$이때 기름층의 두께를 $\displaystyle a$에 대한 함수 $\displaystyle h(a)=a-2+\sqrt{-2a^2-4a+52}$ ($\displaystyle 0\le a\le4$) 로 나타내면$\displaystyle h^{\prime}(a)=1-\frac{2a+2}{\sqrt{-2a^2-4a+52}}$$\displaystyle h^{\prime}(a)=0$이면 $\displaystyle 2a+2=\sqrt{-2a^2-4a+52}$, $\displaystyle 4(a+1)^2=-2a^2-4a+52$이때 $\displaystyle a^2+2a-8=(a+4)(a-2)=0$이고, $\displaystyle 0\le a\le4$이므로 $\displaystyle h(a)$는 $\displaystyle a=2$에서 극값을 갖는다.$\displaystyle 0\le a\le4$일 때 $\displaystyle \sqrt{-2a^2-4a+52}\ge0$이므로 함수 $\displaystyle h(a)$의 증감을 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

기름층의 윗면의 높이가 8일 때 기름층의 두께는 $\displaystyle -2+\sqrt{52}=-2+2\sqrt{13}$이고 6보다 작다.2) 기름층의 윗면의 높이가 8보다 작으면 기름층이 아래로 이동할수록 용기의 단면적이 점점 커지게 되므로 기름층의 두께가 감소한다.1), 2)로부터 기름층의 두께의 최댓값은 6 이다.