자연계열 4번

(1) 학생 A의 방법에서 첫 번째 잘못된 점은, $\displaystyle f(i)=i$인 값 $\displaystyle i$가 있을 가능성을 고려하지 않고 과정 (나)에서 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우만 고려한 것이다. $\displaystyle f(i)=j$일 때 $\displaystyle i\ne j$이면 두 개씩 쌍을 이루어야 하지만, $\displaystyle i=j$인 경우는 다른 원소와 쌍을 이루지 않는다.두 번째 잘못된 점은, 두 개씩 세 쌍이 이루어지는 경우의 수는 쌍을 택하는 순서와 무관해야 하는데, 과정 (다)에서 쌍의 순서를 고려하여 계산한 것이다.

(2) $\displaystyle f(i)=j$이고 $\displaystyle i\ne j$인 원소 $\displaystyle i$의 개수는 짝수이므로 $\displaystyle f(i)=i$인 원소 $\displaystyle i$의 개수 역시 짝수이다.(a) $\displaystyle f(i)=j$이고 $\displaystyle i\ne j$인 원소 $\displaystyle i$가 없는 경우(즉 $\displaystyle f(i)=i$인 원소 $\displaystyle i$가 6개인 경우): 모든 $\displaystyle i$에 대해 $\displaystyle f(i)=i$인 함수의 개수는 1개이다.(b) $\displaystyle f(i)=j$이고 $\displaystyle i\ne j$인 원소 $\displaystyle i$가 2개인 경우(즉 $\displaystyle f(i)=i$인 원소 $\displaystyle i$가 4개인 경우): 두 원소의 쌍을 하나 만드는 경우의 수, 즉 $\displaystyle {}_{6}\mathrm C_2=15$개의 함수가 존재한다.(c) $\displaystyle f(i)=j$이고 $\displaystyle i\ne j$인 원소 $\displaystyle i$가 4개인 경우(즉 $\displaystyle f(i)=i$인 원소 $\displaystyle i$가 2개인 경우): 두 원소의 쌍을 하나 만들고 나머지 4개의 원소 중 두 번째 쌍을 만든 다음, 두 쌍을 순서대로 나열하는 경우의 수로 나누어 주어야 한다.이때 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2}{2!}=\frac{15\times6}2=45$이다.(d) $\displaystyle f(i)=j$이고 $\displaystyle i\ne j$인 원소 $\displaystyle i$가 6개인 경우(즉 $\displaystyle f(i)=i$인 원소 $\displaystyle i$가 없는 경우): 정의역의 6개의 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우의 수를 구하면 된다.이때 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2}{3!}=\frac{15\times6\times1}6=15$이다.종합하면 다음과 같다.

따라서 구하는 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle 1+15+45+15=76$개이다.