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자연계열 4번

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숭실대 2024학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/ssu/2024su/jayeon_4

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다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. (25점)

∙ 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r(0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 순열의 수는nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}∙ 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r(0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 조합의 수는nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\frac{{}_{n}\mathrm P_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}[출처 : 수학 「경우의 수」]

다음 조건을 만족시키는 함수 f\displaystyle f의 개수를 세려고 한다.

f:{1,2,3,4,5,6}→{1,2,3,4,5,6},f∘f는 항등함수\displaystyle f:\{1,2,3,4,5,6\}\to\{1,2,3,4,5,6\},\quad f\circ f\text{는 항등함수}

이를 위하여 학생 A는 다음과 같은 방법을 제시하였다.

(가) f(a)=b\displaystyle f(a)=b이면 f(b)=a\displaystyle f(b)=a여야 한다.(나) 그러므로 {1,2,3,4,5,6}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}의 모든 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우의 수를 구하면 된다.(다) 따라서 조건을 만족시키는 함수 f\displaystyle f의 개수는 6C2×4C2×2C2=15×6×1=90\displaystyle {}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2=15\times6\times1=90개이다.

이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 학생 A의 방법에서 잘못된 점을 모두 찾아서 설명하시오.

(2) 위의 조건을 만족시키는 함수 f\displaystyle f의 개수를 구하시오.

해설강의 준비중

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+10점 · 학생 A의 방법 중 잘못된 점 두 가지를 지적할 수 있다.

(1) 학생 A의 방법에서 첫 번째 잘못된 점은, f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 값 i\displaystyle i가 있을 가능성을 고려하지 않고 과정 (나)에서 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우만 고려한 것이다. f(i)=j\displaystyle f(i)=j일 때 i≠j\displaystyle i\ne j이면 두 개씩 쌍을 이루어야 하지만, i=j\displaystyle i=j인 경우는 다른 원소와 쌍을 이루지 않는다.두 번째 잘못된 점은, 두 개씩 세 쌍이 이루어지는 경우의 수는 쌍을 택하는 순서와 무관해야 하는데, 과정 (다)에서 쌍의 순서를 고려하여 계산한 것이다.

+15점 · 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수를 나누어 각각 조합의 수로 계산할 수 있다.

(2) f(i)=j\displaystyle f(i)=j이고 i≠j\displaystyle i\ne j인 원소 i\displaystyle i의 개수는 짝수이므로 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 원소 i\displaystyle i의 개수 역시 짝수이다.(a) f(i)=j\displaystyle f(i)=j이고 i≠j\displaystyle i\ne j인 원소 i\displaystyle i가 없는 경우(즉 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 원소 i\displaystyle i가 6개인 경우): 모든 i\displaystyle i에 대해 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 함수의 개수는 1개이다.(b) f(i)=j\displaystyle f(i)=j이고 i≠j\displaystyle i\ne j인 원소 i\displaystyle i가 2개인 경우(즉 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 원소 i\displaystyle i가 4개인 경우): 두 원소의 쌍을 하나 만드는 경우의 수, 즉 6C2=15\displaystyle {}_{6}\mathrm C_2=15개의 함수가 존재한다.(c) f(i)=j\displaystyle f(i)=j이고 i≠j\displaystyle i\ne j인 원소 i\displaystyle i가 4개인 경우(즉 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 원소 i\displaystyle i가 2개인 경우): 두 원소의 쌍을 하나 만들고 나머지 4개의 원소 중 두 번째 쌍을 만든 다음, 두 쌍을 순서대로 나열하는 경우의 수로 나누어 주어야 한다.이때 함수 f\displaystyle f의 개수는 6C2×4C22!=15×62=45\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2}{2!}=\frac{15\times6}2=45이다.(d) f(i)=j\displaystyle f(i)=j이고 i≠j\displaystyle i\ne j인 원소 i\displaystyle i가 6개인 경우(즉 f(i)=i\displaystyle f(i)=i인 원소 i\displaystyle i가 없는 경우): 정의역의 6개의 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우의 수를 구하면 된다.이때 함수 f\displaystyle f의 개수는 6C2×4C2×2C23!=15×6×16=15\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2}{3!}=\frac{15\times6\times1}6=15이다.종합하면 다음과 같다.

f(i)≠if(i)\ne i인 원소 ii의 개수f(i)=if(i)=i인 원소 ii의 개수함수 ff의 개수
061
2415
4245
6015

따라서 구하는 함수 f\displaystyle f의 개수는 1+15+45+15=76\displaystyle 1+15+45+15=76개이다.

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