자연계열 3번

합성함수 $\displaystyle f(g(x))$는 다음과 같다.$\displaystyle f(g(x))=\begin{cases}1-a\left(-x+\frac12\right)^2&x\le0\\1-\left(-x-\frac14\right)^2&x>0\end{cases}$이 함수가 $\displaystyle x=0$에서 연속이기 위해서는 좌극한, 우극한과 함숫값이 일치해야 한다. 따라서$\displaystyle 1-\frac a{2^2}=\lim_{x\to0-}f(g(x))=f(g(0))=\lim_{x\to0+}f(g(x))=1-\frac1{4^2}$이어야 하므로, $\displaystyle a=\frac14$이다.

직사각형의 오른쪽 변의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle m$이라고 하자. 이때 직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점은 $\displaystyle \mathrm A\left(m,1-\frac14m^2\right)$이 된다.직사각형의 왼쪽 위 꼭짓점은 $\displaystyle \mathrm B\left(n,1-\frac14m^2\right)$이고 이 점은 곡선 $\displaystyle y=1-x^2$위에 있으므로 다음 식이 성립한다.$\displaystyle 1-n^2=1-\frac14m^2$따라서 $\displaystyle n=-\frac m2$이고 직사각형의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle S(m)=\left(1-\frac{m^2}4\right)\left(m+\frac m2\right)=\frac32m-\frac38m^3$$\displaystyle S^{\prime}(m)=\frac32-\frac98m^2\ (0<m<2)$이고 함수 $\displaystyle S(m)$의 증감표는 다음과 같다.

따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac2{\sqrt3}$이다.