자연계열 3번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2-4ax+3a+b-1$를 정의하면 주어진 부등식은 $\displaystyle f(x)\ge0$과 같다. 이차항의 계수 $\displaystyle a$의 부호에 따라 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형이 결정되므로, $\displaystyle a$의 부호에 따라 경우를 나눈다.1) $\displaystyle a>0$인 경우:$\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록한 포물선이므로 주어진 부등식을 만족하는 $\displaystyle x$가 항상 존재한다.2) $\displaystyle a=0$인 경우:$\displaystyle f(x)=b-1$이므로 $\displaystyle b-1\ge0$, 즉 $\displaystyle b\ge1$이 되어야 주어진 부등식을 만족하는 $\displaystyle x$가 존재한다.3) $\displaystyle a<0$인 경우:$\displaystyle y=f(x)$는 위로 볼록한 포물선이므로 주어진 부등식을 만족하는 $\displaystyle x$가 존재하려면 이차함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x$축과 한 점 또는 두 점에서 만나야 한다. 즉, 이차방정식 $\displaystyle f(x)=ax^2-4ax+3a+b-1=0$이 실근을 가져야 한다.따라서 이차방정식의 판별식 $\displaystyle 4a^2-a(3a+b-1)=a^2-ab+a=a(a-b+1)\ge0$으로부터 $\displaystyle a-b+1\le0$ ($\displaystyle \because a<0$)을 얻는다. 따라서 구하는 조건은 $\displaystyle b\ge a+1$이 된다.1), 2), 3)의 경우를 종합하면, 구하는 조건은 $\displaystyle a>0$ 또는 ($\displaystyle a\le0$, $\displaystyle b\ge a+1$)이다.

[별해] $\displaystyle a$의 부호에 따라 $\displaystyle b$의 조건을 다음과 같이 구할 수 있다.1) $\displaystyle a>0$인 경우:$\displaystyle b$에 관계없이 주어진 부등식을 만족하는 $\displaystyle x$는 항상 존재한다.2) $\displaystyle a=0$인 경우:$\displaystyle b\ge1$이 되어야 주어진 부등식을 만족하는 $\displaystyle x$가 존재한다.3) $\displaystyle a<0$인 경우:주어진 부등식 $\displaystyle a(x-1)(x-3)+b-1\ge0$의 양변을 $\displaystyle a$로 나누어 $\displaystyle x^2-4x+3+\frac{b-1}a\le0$을 얻을 수 있다. 이를 변형하면 $\displaystyle (x-2)^2\le\frac{a-b+1}a$이 되고, 이를 만족하는 $\displaystyle x$가 존재하려면 $\displaystyle \frac{a-b+1}a\ge0$, 즉 $\displaystyle a-b+1\le0$ ($\displaystyle \because a<0$)이어야 한다. 따라서 구하는 조건은 $\displaystyle b\ge a+1$이 된다.1), 2), 3)의 경우를 종합하면, 구하는 조건은 $\displaystyle a>0$ 또는 ($\displaystyle a\le0$, $\displaystyle b\ge a+1$)이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2-(4a+b)x+(3a+b)$를 정의하면 주어진 부등식은 $\displaystyle f(x)\ge0$과 같다. 이차항의 계수 $\displaystyle a$의 부호에 따라 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형이 결정되므로, 문항 (1)에서와 같이 $\displaystyle a$의 부호에 따라 경우를 나눈다.1) $\displaystyle a>0$인 경우:$\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록한 포물선이므로 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\ge0$이 되려면 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축과 만나지 않아야 한다. 따라서 이차방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 실근이 존재하지 않아야 하므로, 판별식 $\displaystyle (4a+b)^2-4a(3a+b)\le0$으로부터 $\displaystyle (2a+b)^2\le0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle 2a+b=0$이어야 한다.Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: $\displaystyle f(x)\ge0$에는 그래프가 $\displaystyle x$축에 접하는 경우도 포함되므로, ‘실근이 존재하지 않아야’는 ‘서로 다른 두 실근을 갖지 않아야’의 오기이다. 이어지는 판별식 조건과 결론은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.2) $\displaystyle a=0$인 경우:$\displaystyle f(x)=-bx+b$이므로 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\ge0$이 되려면 $\displaystyle b=0$이어야 한다.3) $\displaystyle a<0$인 경우:$\displaystyle y=f(x)$는 위로 볼록한 포물선이므로 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\ge0$이 성립될 수 없다.1), 2), 3)의 경우를 종합하면, 구하는 조건은 ($\displaystyle a>0$, $\displaystyle 2a+b=0$) 또는 $\displaystyle a=b=0$이다.