숭실대 2025학년도 모의논술 자연계열 2번 해설

문제 2 아래 제시문을 읽고 다음 논제에 답하시오. (25점)

⦁ 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$ (단, $\displaystyle a<x<b$ )⦁ 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.[출처 : 수학 II 「미분, 적분」]

(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac d{dx}\int_1^xu\tan\frac1u\,du$ 를 구하시오.

(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}u\tan\frac1u\,du$ 를 구하시오.

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+15점 · 정적분의 개념을 적용하여 적분을 계산한 후, 미분을 하였을 때, 그 결과값의 극한을 구한다.

(1) $\displaystyle f(x)=x\tan\frac1x$ 라고 하면, $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx=\int x\tan\frac1x\,dx$ 이고 $\displaystyle \int_1^xf(u)\,du=F(x)-F(1)$ 이다.미분과 적분의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac d{dx}\int_1^xu\tan\frac1u\,du=\frac d{dx}\int_1^xf(u)\,du=f(x)=x\tan\frac1x$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac d{dx}\int_1^xu\tan\frac1u\,du=\lim_{x\to\infty}x\tan\frac1x=\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\frac1x}{\frac1x}$

+5점 · 이 때, 삼각함수의 극한의 성질을 잘 이용하여 정확한 답을 구한다.

$\displaystyle \theta=\frac1x$ 라고 하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\tan\frac1x}{\frac1x}=\lim_{\theta\to0}\frac{\tan\theta}{\theta}=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta\cos\theta}=\lim_{\theta\to0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)\left(\frac1{\cos\theta}\right)=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\lim_{\theta\to0}\frac1{\cos\theta}=1$

+10점 · 위에서 구한 값을 이용하여, 평균값의 정리를 적용한다.

Correction. 문제 2의 배점은 25점이나 채점기준의 세부 배점은 $\displaystyle 15+5+10=30$ 점으로 제시되어 있다. 다른 세 문항은 모두 문제와 채점기준의 배점이 25점으로 일치하므로 문제 2의 세부 배점에 오기가 있다. 어느 채점 항목의 배점을 몇 점으로 고쳐야 하는지는 제시된 자료만으로 확정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle \int_x^{x+1}u\tan\frac1u\,du=F(x+1)-F(x)$ 이다.평균값 정리에 의하여 $\displaystyle F(x+1)-F(x)=F^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (x,x+1)$ 에 존재한다.따라서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}u\tan\frac1u\,du=\lim_{x\to\infty}(F(x+1)-F(x))=\lim_{c\to\infty}F^{\prime}(c)=\lim_{c\to\infty}f(c)=1$

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