자연계열 2번

(1) $\displaystyle f(x)=x\tan\frac1x$라고 하면, $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx=\int x\tan\frac1x\,dx$이고 $\displaystyle \int_1^xf(u)\,du=F(x)-F(1)$이다.미분과 적분의 관계에 의하여$\displaystyle \frac d{dx}\int_1^xu\tan\frac1u\,du=\frac d{dx}\int_1^xf(u)\,du=f(x)=x\tan\frac1x$이므로$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac d{dx}\int_1^xu\tan\frac1u\,du=\lim_{x\to\infty}x\tan\frac1x=\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\frac1x}{\frac1x}$

$\displaystyle \theta=\frac1x$라고 하면$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\tan\frac1x}{\frac1x}=\lim_{\theta\to0}\frac{\tan\theta}{\theta}=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta\cos\theta}=\lim_{\theta\to0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)\left(\frac1{\cos\theta}\right)=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\lim_{\theta\to0}\frac1{\cos\theta}=1$

(2) $\displaystyle \int_x^{x+1}u\tan\frac1u\,du=F(x+1)-F(x)$이다.평균값 정리에 의하여 $\displaystyle F(x+1)-F(x)=F^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (x,x+1)$에 존재한다.따라서$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}u\tan\frac1u\,du=\lim_{x\to\infty}(F(x+1)-F(x))=\lim_{c\to\infty}F^{\prime}(c)=\lim_{c\to\infty}f(c)=1$