자연계열 4번

함수 $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$라고 하자. 함수 $\displaystyle h(x)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에서 연속이 되도록 하기 위해서는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=\pi$에서 $\displaystyle h(x)$가 연속이어야 한다.(i) $\displaystyle h(0)=6\sin\phi$이다.$\displaystyle \lim_{x\to0-}h(x)=-\sin\phi$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0+}h(x)=6\sin\phi$ 이므로 $\displaystyle x=0$에서 연속이려면, $\displaystyle -\sin\phi=6\sin\phi$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sin\phi=0$이고 $\displaystyle \phi=0$ 또는 $\displaystyle \phi=\pi$ 이다.(ii) $\displaystyle h(\pi)=\frac32\sin(k\pi+\phi)$이다.$\displaystyle \lim_{x\to\pi-}h(x)=6\sin(k\pi+\phi)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\pi+}h(x)=\frac32\sin(k\pi+\phi)$ 이므로 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=\pi$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle 6\sin(k\pi+\phi)=\frac32\sin(k\pi+\phi)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sin(k\pi+\phi)=0$이다. (i)로부터 $\displaystyle \phi$는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle \pi$이고 $\displaystyle k>0$이므로 $\displaystyle k$는 양의 정수이다.

$\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=3\int_0^\pi\sin(kx+\phi)\,dx=-\frac3k(\cos(\pi k+\phi)-\cos\phi)$이다.짝수인 $\displaystyle k$에 대해서 적분값은 $\displaystyle 0$이 되므로 $\displaystyle k$는 홀수이다. 따라서 $\displaystyle k=2n+1$ ($\displaystyle n$은 0보다 크거나 같은 정수)이 된다.$\displaystyle \phi=0$ 일 때, $\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=-\frac3k(\cos((2n+1)\pi)-1)=\frac6k$ 이므로 적분값이 양의 정수가 되도록 하는 $\displaystyle k$ 값은 1과 3이다.$\displaystyle \phi=\pi$ 일 때, $\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=-\frac3k(\cos((2n+1)\pi+\pi)+1)=-\frac6k$이고, $\displaystyle k>0$이므로 적분값이 양의 정수가 되도록 하는 $\displaystyle k$ 값은 존재하지 않는다.따라서 $\displaystyle \phi=0$, $\displaystyle k=1,3$이다.