자연계열 3번

원 $\displaystyle (x-r)^{2}+\left(y-r^{2}\right)^{2}=r^{2}$과 직선 $\displaystyle x=t$는 $\displaystyle 0<r<\frac{t}{2}$일 때는 만나지 않고, $\displaystyle r\geq\frac{t}{2}$일 때에만 만나며교점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=r^{2}\pm\sqrt{2rt-t^{2}}$이다.이 중 작은 값 $\displaystyle y=r^{2}-\sqrt{2rt-t^{2}}$이 최소가 되는 $\displaystyle r$을 구하면 된다.

$\displaystyle f(x)=x^{2}-\sqrt{2xt-t^{2}}$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-\frac{t}{\sqrt{2xt-t^{2}}}$이고, $\displaystyle x>\frac{t}{2}$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2+t^{2}\left(2xt-t^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}>0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)$는 연속인 증가함수이고, $\displaystyle \lim_{x\to\frac{t}{2}+}f^{\prime}(x)=-\infty$이며 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=\infty$이므로,$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$는 오직 하나 존재한다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle 4x^{2}=\frac{t^{2}}{2xt-t^{2}}=\frac{t}{2x-t}$, 즉 $\displaystyle t=\frac{8x^{3}}{4x^{2}+1}$을 만족하는 $\displaystyle x$의 값(이 값을 $\displaystyle r$이라 하자)에 대하여 $\displaystyle f(x)$는 최솟값을 갖는다.따라서 구하는 관계식은 $\displaystyle 8r^{3}-t\left(4r^{2}+1\right)=0$이다.

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{8r^{3}}{4r^{2}+1}$에서 $\displaystyle (2r-1)\left(8r^{2}+2r+1\right)=0$이므로 $\displaystyle r=\frac{1}{2}$이다.

음함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle 24r^{2}\frac{dr}{dt}-\left(4r^{2}+1\right)-8rt\frac{dr}{dt}=0$이므로 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \frac{dr}{dt}=\frac{1}{2}$이다.