자연계열 2번

타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{64}+y^{2}=1$ 위의 제1사분면의 점을 $\displaystyle \left(8\cos\theta,\,\sin\theta\right)\ \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$라 하면접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle x\cos\theta+8y\sin\theta=8$이다.

직선 $\displaystyle l$과 직선 $\displaystyle y=-1$의 교점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{8\left(\sin\theta+1\right)}{\cos\theta},\,-1\right)$이고,직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle y$축의 교점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\,\frac{1}{\sin\theta}\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle S(\theta)=\frac{4\left(\sin\theta+1\right)^{2}}{\sin\theta\cos\theta}\ \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$이다.

$\displaystyle S(\theta)$를 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면

$\displaystyle S^{\prime}(\theta)=4\times\frac{2\left(\sin\theta+1\right)\cos\theta\cdot\sin\theta\cos\theta-\left(\sin\theta+1\right)^{2}\left(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\right)}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}$$\displaystyle \hphantom{S^{\prime}(\theta)}=4\left(\sin\theta+1\right)^{2}\times\frac{2\sin\theta-1}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}$

이고 $\displaystyle \left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)$에서 함수 $\displaystyle S(\theta)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle \left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)$에서 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$일 때 $\displaystyle S(\theta)$는 최솟값을 갖는다.그러므로 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$일 때 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle 12\sqrt{3}$이다.