자연계열 4번

뽑힌 세 점의 좌표를 크기순으로 $\displaystyle p<q<r$이라 하자.순서대로 뽑은 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$는 $\displaystyle p,\,q,\,r$의 한 순열이고,이 여섯 가지 순열이 모두 같은 확률로 나타나므로,$\displaystyle \mathrm{A}$가 $\displaystyle p,\,q,\,r$ 중 어느 것인지는 각각 확률 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.

$\displaystyle \mathrm{A}$가 $\displaystyle q$이면 $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$는 $\displaystyle \mathrm{A}$의 양쪽에 하나씩 있으므로, 두 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$, $\displaystyle \mathrm{AC}$는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 한 점에서만 만나 $\displaystyle X=0$이고,$\displaystyle \mathrm{A}$가 $\displaystyle p$이면 $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$가 모두 $\displaystyle \mathrm{A}$보다 크므로, 두 선분이 겹치는 길이는 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 더 가까운 점까지의 거리인 $\displaystyle q-p$이며,$\displaystyle \mathrm{A}$가 $\displaystyle r$이면 대칭적으로 겹치는 길이는 $\displaystyle r-q$이다.

(a) $\displaystyle X=1$이려면 $\displaystyle \mathrm{A}=p$이고 $\displaystyle q-p=1$이거나, $\displaystyle \mathrm{A}=r$이고 $\displaystyle r-q=1$이어야 한다.$\displaystyle 1,\,\cdots,\,n$의 각 수 $\displaystyle k$를 $\displaystyle n+1-k$로 대응시키면 $\displaystyle p,\,q,\,r$은 각각 $\displaystyle n+1-r,\,n+1-q,\,n+1-p$로 바뀌어 $\displaystyle q-p$와 $\displaystyle r-q$가 서로 바뀌므로,$\displaystyle q-p=1$일 확률과 $\displaystyle r-q=1$일 확률은 같다.

$\displaystyle q-p=1$인 경우는 $\displaystyle p=1,\,\cdots,\,n-2$에 대하여 $\displaystyle r$이 $\displaystyle p+2,\,\cdots,\,n$ 중 하나이면 되므로 그 개수는$\displaystyle \sum_{p=1}^{n-2}(n-p-1)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$이고,전체 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$이므로 $\displaystyle q-p=1$일 확률은$\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)/2}{n(n-1)(n-2)/6}=\frac{3}{n}$이다.

따라서 $\displaystyle X=1$일 확률은$\displaystyle P(X=1)=\frac{1}{3}\times\frac{3}{n}+\frac{1}{3}\times\frac{3}{n}=\frac{2}{n}$이다.

(b) 앞의 결과에 의해 $\displaystyle X$의 평균은$\displaystyle E(X)=\frac{1}{3}\times 0+\frac{1}{3}E(q-p)+\frac{1}{3}E(r-q)=\frac{1}{3}E(r-p)$이므로,$\displaystyle r-p$의 기댓값을 구하면 된다.

$\displaystyle 1,\,\cdots,\,n$의 자연수 중 $\displaystyle p,\,q,\,r$을 제외한 $\displaystyle (n-3)$개의 수는 $\displaystyle p$보다 작은 수, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$ 사이의 수, $\displaystyle q$와 $\displaystyle r$ 사이의 수, $\displaystyle r$보다 큰 수의 네 그룹으로 나뉜다.이 네 그룹에 속한 수의 개수를 각각 $\displaystyle a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$이라 하면 $\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=n-3$이고,$\displaystyle (p,\,q,\,r)$을 정하는 것과 $\displaystyle \left(a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\right)$을 정하는 것은 일대일대응이므로,대칭성에 의해 $\displaystyle a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$의 기댓값은 모두 같다.

따라서 $\displaystyle E(a_{0})=E(a_{1})=E(a_{2})=E(a_{3})=\frac{n-3}{4}$이고,$\displaystyle p=a_{0}+1$이므로 $\displaystyle E(p)=\frac{n-3}{4}+1=\frac{n+1}{4}$이며,$\displaystyle r=n-a_{3}$이므로 $\displaystyle E(r)=n-\frac{n-3}{4}=\frac{3n+3}{4}$이다.

$\displaystyle E(r-p)=E(r)-E(p)=\frac{3n+3}{4}-\frac{n+1}{4}=\frac{n+1}{2}$이므로$\displaystyle E(X)=\frac{1}{3}\times\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{6}$이다.