자연계열 2번

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (35점)

우리는 생활 속에서 생산성을 최대화하거나 효율성을 극대화하려는 노력을 많이 볼 수 있다. 예를 들면 주어진 길이의 울타리를 사용하여 사각형 모양의 가축 우리를 만들 때 가장 넓게 만드는 방법은 직사각형 모양으로 길게 만들기보다 정사각형 모양으로 만드는 것이다. 이런 최적화 문제는 수학의 미분개념을 활용하여 손쉽게 해결할 수 있다.

[2-1] 어느 공장에서 함석판을 잘라서 뚜껑이 없는, 즉 윗면이 없는 원기둥 모양의 물통을 부피가 $\displaystyle 8000\pi\,\mathrm{cm}^3$가 되도록 만들려고 한다. 이 때 재료를 가장 적게 사용하여 만드는 방법이 무엇인지 설명하고 그 경우의 반지름의 길이와 높이 그리고 필요한 함석판의 넓이를 구하시오. (15점)

[2-2] 어느 공장에서 함석판을 잘라서 뚜껑이 없는, 즉 윗면이 없는 삼각기둥 모양의 물통을 만들려고 한다. 삼각기둥의 겉넓이가 $\displaystyle 4800\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$가 되도록 물통을 만들 때 물통의 부피를 가장 크게 만드는 방법을 설명하고 그 치수와 부피의 최댓값을 구하시오. (20점)