자연계열 1번

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (30점)

방정식의 근(해)을 찾는 것은 과학 분야에서 매우 중요하고 흥미로운 일이다. 그러나 정확한 근(해)을 찾는 것은, 경우에 따라서 어려운 작업이 될 수도 있다. 방정식의 정확한 근을 찾을 수 없는 경우에 아래와 같은 방법으로 근의 위치를 추정하기도 한다.

방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근 $\displaystyle p$가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 안에 한 개만 존재한다고 하자. 이 때 근 $\displaystyle p$를 추정하기 위하여 다음과 같은 방법을 생각할 수 있다.

먼저 $\displaystyle a_0=a,\ b_0=b$라고 하고, 구간 $\displaystyle [a_0,b_0]$을 같은 길이로 3등분하면, 세 구간 중에 적어도 한 곳에 반드시 근이 존재한다. 이때 근이 존재하는 한 구간을 $\displaystyle [a_1,b_1]$이라고 하고, 이 구간의 중점을 $\displaystyle p_1=\frac{a_1+b_1}{2}$이라고 하자. 같은 방법으로 구간 $\displaystyle [a_1,b_1]$을 3등분하여, 근이 존재하는 한 구간을 $\displaystyle [a_2,b_2]$라고 하고, 이 구간의 중점을 $\displaystyle p_2=\frac{a_2+b_2}{2}$라고 하자.

이와 같은 과정을 반복하여 얻은 수열 $\displaystyle \{p_n\}$은 근 $\displaystyle p$로 수렴하게 된다.

[1-1] 방정식 $\displaystyle x^3-4x^2+7x-10=0$의 근이 구간 $\displaystyle [0,3]$ 안에 몇 개나 존재하며 그 이유가 무엇인지를 설명하고, 근사값 $\displaystyle p_2$를 구하시오. (15점)

[1-2] [1-1]에서의 수열 $\displaystyle \{p_n\}$이 $\displaystyle p$로 수렴하는 이유를 설명하고, |오차| $\displaystyle =|p_n-p|<\frac{1}{10^{12}}$을 만족하는 최소한의 시행횟수 $\displaystyle n$을 구하시오. (단, $\displaystyle \log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$) (15점)