자연계열 3번

【문제 3】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (35점)

동전을 던져서 앞면(H)과 뒷면(T)이 나올 확률을 각각 0.5라 하자. 동전을 7번 던져서 앞면이 나온 수가 뒷면이 나온 수보다 한 번 많았다. $\displaystyle n$번 동전을 던져서 앞면이 나온 수에서 뒷면이 나온 수를 뺀 수를 $\displaystyle S_n(n=1,\cdots,7)$이라고 하고, 점 $\displaystyle (n,S_n)$을 연결한 그래프를 고려하자. 예를 들어 7번 동전을 던진 결과가 {H,H,T,T,H,H,T}인 경우를 $\displaystyle O(0,0)\to Q(7,1)$에 이르는 그래프로 나타내면 <그림 2>의 $\displaystyle g$와 같다.

[3-1] 조건부확률 $\displaystyle P(S_6=2|S_7=1)$을 구하시오. (10점)

[3-2] $\displaystyle Q(7,1)$에 이르는 동안 처음부터 계속해서 $\displaystyle S_n>0$이 될 확률을 구하려고 한다. 먼저 $\displaystyle P(1,1)\to Q(7,1),\ P^*(1,-1)\to Q(7,1)$에 이르는 가능한 그래프의 수를 각각 구하시오. 그리고 아래 조건 ①과 ②를 이용하여 $\displaystyle O(0,0)\to Q(7,1)$에 이르는 그래프 중에서 한 번도 $\displaystyle x$축을 만나지 않는 경우의 수를 구한 후, 앞에서 구한 값들을 이용하여 확률을 구하시오. (25점)