자연계열 3번

【문제 3】 아래 제시문을 읽고 문제에 답하시오. (35점)

(문제 3-1) 두 사건 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$의 합사건의 확률은 아래의 식(1)과 같다.$\displaystyle P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\ \cdots\cdots\ (1)$벤 다이어그램을 이용하지 말고, 식(1)을 이용하여 세 사건 $\displaystyle A_1,A_2,A_3$의 합사건의 확률은 아래의 식(2)와 같음을 보이시오. (10점)$\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3)\ \cdots\cdots\ (2)$

(문제 3-2) 연세기업에서는 제품 생산을 위한 생산 시스템에 안정적인 전원을 공급해 주기 위해 세 개의 전원장치(전원장치$\displaystyle A$, 전원장치$\displaystyle B$, 전원장치$\displaystyle C$)를 병렬로 연결하여 설치하였다. 따라서 세 개의 전원장치 중 적어도 한 개만 작동하면 생산 시스템에 전원이 공급되어 생산 시스템이 작동되게 된다. 세 개 전원장치의 작동 확률에 관한 정보는 다음과 같다.

생산 시스템에 전원이 공급되고 있어 생산 시스템이 아무 문제없이 작동되고 있다고 한다. 이 때 세 개의 전원장치 중 전원장치$\displaystyle B$만 작동 중일 확률을 (문제 3-1)의 식(2)를 이용하여 구하시오. (10점)Notice. 문제 3-2의 조건만으로는 전원장치 $\displaystyle B$만 작동할 확률이 하나로 정해지지 않는다. 전원장치 $\displaystyle C$가 작동할 확률을 $\displaystyle t$라 하면, 적어도 한 전원장치가 작동할 때 $\displaystyle B$만 작동할 조건부확률은 $\displaystyle \frac{11+4t}{47+40t}$이고 $\displaystyle t$의 값은 주어진 조건으로 결정할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(문제 3-3) 연세기업에서는 신제품의 판촉을 목적으로, 생산하는 신제품의 20%에‘당첨’스티커를 무작위로 부착하여 포장한 후 판매하고 있다. 어떤 구매자가 연세기업의 신제품을 구입하는데, 처음으로‘당첨’스티커가 부착되어 있는 신제품을 구입할 때까지 계속하여 한 개씩 구입하려고 한다(신제품을 한 개씩 구입하는 시행은 독립시행이라고 가정한다). 이 구매자가 구입하게 될 신제품 개수의 확률분포표를 제시하고, 이를 이용하여 이 구매자가 평균 몇 개의 신제품을 구입하게 될지 답하시오. (15점)