자연계열 3번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+a$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 $\displaystyle a<0$이어야 한다. 이 경우, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle \pm\sqrt{-\frac a3}$이고, $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{-\frac a3}\right)=\pm\sqrt{-\frac a3}(-\frac a3+a)+b=\pm\sqrt{-\frac{4a^3}{27}}+b$이므로, 세 개의 실근을 가질 필요충분조건은 제시문 (ㄴ)에 의해 $\displaystyle a<0$이고 $\displaystyle f\left(\sqrt{-\frac a3}\right)f\left(-\sqrt{-\frac a3}\right)=b^2+\frac4{27}a^3<0$가 된다. 두 번째 부등식은 $\displaystyle a<0$인 경우에만 성립하므로, $\displaystyle 27b^2+4a^3<0$이 필요충분조건이다.

집합 $\displaystyle A$의 경우, 제시문 (ㄱ)의 조건에 의해 $\displaystyle \alpha^2-4\beta<0$을 만족하게 되고, 집합 $\displaystyle B$의 경우는 논제 1에 의해, $\displaystyle \beta^2-\alpha^3<0$을 만족해야 한다. 즉, 영역은 $\displaystyle \left\{(x,y)\in R^2\middle|\frac{x^2}4<y<x^{3/2},\;0\le x\le16\right\}$이다. 따라서 면적은 $\displaystyle \int_0^{16}\left(x^{3/2}-\frac{x^2}4\right)dx=\frac{1024}{15}$이다.