자연계열 3번

(ㄱ) $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ (단, $\displaystyle a,b,c\in R,\;a\ne0$)라고 하면, $\displaystyle a$의 부호에 따라 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 아래의 그림과 같은 형태를 갖는다. 이 그래프에서 유추할 수 있듯이, 방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 서로 다른 두 개의 실수해를 갖기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle af\left(-\frac b{2a}\right)<0$이다. 그런데, $\displaystyle f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2}{4a}+c$이므로, 이 조건은 $\displaystyle b^2-4ac>0$이 된다.

(ㄴ) $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ (단, $\displaystyle a,b,c,d\in R,\;a\ne0$)라고 하면, $\displaystyle a$의 부호에 따라 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 아래의 그림과 같은 형태를 갖는다. 이 그래프에서 유추할 수 있듯이, 방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 서로 다른 세 개의 실수해를 갖기 위한 필요충분조건은 “방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 서로 다른 두 실수해 $\displaystyle x_1,x_2$를 갖고, $\displaystyle f(x_1)f(x_2)<0$”이다.

(ㄷ) 집합 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle A=\{(\alpha,\beta)\in R^2\mid\text{이차방정식 }x^2+\alpha x+\beta=0\text{이 실수해를 갖지 않는다.}\}$

$\displaystyle B=\{(\alpha,\beta)\in R^2\mid\text{삼차방정식 }x^3-3\alpha x+2\beta=0\text{이 서로 다른 세 실수해를 갖는다.}\}$